函数项级数
前置知识
收敛域
给定一个定义于 $I$ 上的函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$，将 $x_0 \in I$ 代入其中，得到一个常数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x_0)$。
如果 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x_0)$ 收敛，则称 $x_0$ 为对应的函数项级数的收敛点，否则称为发散点。函数项级数的所有收敛点的全体称为收敛域，所有发散点的全体称为发散域。
和函数
在收敛域上，函数项级数的和是 $x$ 的函数 $S(x)$，称为和函数。
$$
S(x) = \sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)
$$
函数项级数的前 $N$ 项和（部分和）记作 $S_N(X)$，则 $\lim_{N \to \infty} S_N(x) = S(x)$，余项 $r_N(x) = S(x)-S_N(x)$ 且有 $\lim_{N \to \infty} r_N(x) = 0$。
幂级数
形如
$$
\sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-x_0)^n
$$
的级数称为幂级数。其中 $a_n$ 是系数，$x_0$ 是收敛中心。特别地，当 $x_0=0$ 时，形为 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$。
阿贝尔定理
对于幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$，若在 $x=x_0$ 处收敛，则对于任何满足 $|x|<|x_0|$ 的 $x$ 都是收敛点；反之，若在 $x=x_0$ 处发散，则对于任何满足 $|x|>|x_0|$ 的 $x$ 都是发散点。
收敛半径
对于幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 可以定义收敛半径 $R$：
- 当 $|x| < R$ 时，幂级数（绝对）收敛；
- 当 $|x| > R$ 时，幂级数发散；
- 当 $|x| = R$ 时，幂级数可能收敛也可能发散。
规定，若幂级数仅在 $x=0$ 处收敛，则 $R=0$；若幂级数在 $\mathbb{R}$ 上收敛，则 $R=+\infty$。
提示：
求出收敛半径 $R$ 之后，需要考虑 $|x| = R$ 的端点处是否收敛，才能确定收敛域的开闭。但是，如果 $R=+\infty$，则无需考虑端点，因为收敛域必定是开区间。
对幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 中的系数 $a_n$ 取绝对值，然后让前后两项作比值（或者作 $n$ 次方根），再取极限，可得
$$
\rho = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \quad \text{or} \quad \rho = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}
$$
对于 $\rho$ 有以下结论：
- 当 $\rho \neq 0$ 时，收敛半径 $R=\frac{1}{\rho}$；
- 当 $\rho=0$ 时，收敛半径 $R=+\infty$；
- 当 $\rho=+\infty$ 时，收敛半径 $R=0$。
解法：
求解收敛域一般可以通过两种方法：
- 针对系数 $a_n$ 求出 $\rho$ 的值，再通过 $R=\frac{1}{\rho}$ 得到收敛半径，从而写出 $x$ 的范围，再判断端点处情况即可。
- 针对整个通项，做类似的操作，求比值或根值极限，记作 $l$（此时 $l$ 是含有 $x$ 的表达式），令 $l<1$ 来解出 $x$ 的范围，再判断端点处情况即可。
此外，如果幂级数的底数不是 $x$，则表明收敛中心发生偏移。例如通项为 $(2x+1)^n$ 的级数的收敛中心是 $x=-\frac{1}{2}$。
运算性质
设 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 和 $\sum_{n=0}^{\infty} b_n x^n$ 的收敛半径分别是 $R_1$ 和 $R_2$。规定，联合收敛半径 $R=\min{R_1,R_2}$。以下运算性质均建立在 $x \in (-R,R)$ 的前提下。
加减法：
$$
\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \pm \sum_{n=0}^{\infty} b_n x^n = \sum_{n=0}^{\infty} (a_n + b_n) x^n
$$
乘法：
$$
\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \times \sum_{n=0}^{\infty} b_n x^n = \sum_{n=0}^{\infty} c_n x^n
$$
其中 $c_n$ 是柯西乘积系数，$c_n = a_0b_0 + a_1b_{n-1} + \cdots + a_nb_0$，如下表所示，可以通过对角连线的方式来快速写出。
$$
\begin{matrix}
\textcolor{gray}{1} & & \textcolor{gray}{x} & & \textcolor{gray}{x^2} & & \textcolor{gray}{x^3} & & \textcolor{gray}{\cdots} \cr
a_0b_0 & & a_1b_0 & & a_2b_0 & & a_3b_0 & & \cr
& \textcolor{gray}{\swarrow} & & \textcolor{gray}{\swarrow} & & \textcolor{gray}{\swarrow} & & & \cr
a_0b_1 & & a_1b_1 & & a_2b_1 & & a_3b_1 & & \cr
& \textcolor{gray}{\swarrow} & & \textcolor{gray}{\swarrow} & & \textcolor{gray}{\swarrow} & & & \cr
a_0b_2 & & a_1b_2 & & a_2b_2 & & a_3b_2 & & \cr
& \textcolor{gray}{\swarrow} & & \textcolor{gray}{\swarrow} & & \textcolor{gray}{\swarrow} & & & \cr
a_0b_3 & & a_1b_3 & & a_2b_3 & & a_3b_3 & & \cr
\end{matrix}
$$
除法：
$$
\frac{\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n}{\sum_{n=0}^{\infty} b_n x^n} = \sum_{n=0}^{\infty} c_n x^n
$$
其中 $\sum_{n=0}^{\infty} b_n x^n \neq 0$。
提示：
两个幂级数相除所得的新的幂级数，其收敛半径可能比原来两个幂级数的收敛半径小得多。
和函数：
对于幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$，若其收敛半径 $R>0$，则其和函数 $S(x)$ 在收敛域上连续，且在 $(-R,R)$ 内有任意阶导数，可以逐项求导与逐项求积分。
提示：
运算前后收敛半径相同，但收敛域尤其在端点处可能改变。
这说明积分号 $\int$ 和求和号 $\sum$ 可以改变嵌套的顺序，进而简化和函数的求解过程。
泰勒级数
泰勒级数是对指定函数 $f(x)$ 的展开和近似逼近。
相关概念：
若函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的邻域内具有直到 $n+1$ 阶导数，则在该邻域有 $f(x)=p_n(x)+R_n(x)$。$R_n$ 是拉格朗日余项。其中$$
p_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^k
$$
$$
R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(x_0)}{(n+1)!} (x-x_0)^{n+1}
$$
若函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的邻域内具有任意阶导数，则称
$$
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^n
$$
$$
= f(x_0) + f’(x_0)(x-x_0) + \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^n + \cdots
$$
为 $f(x)$ 的泰勒级数。特别地，当从 $x_0=0$ 处展开时，称其为麦克劳林级数。
存在性
在 $x_0$ 的邻域内具有任意阶导数的函数 $f(x)$ 能够展开成泰勒级数的充要条件是：$f(x)$ 的泰勒公式中的余项趋于零，即满足
$$
\lim_{n \to \infty} R_n(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^n = 0
$$
此外，对 $f(x)$ 进行展开时，展开式是唯一的。
直接展开法
通过求解各阶导数，可以将一个函数进行展开。这里以麦克劳林级数展开为例。
- 求出函数及其各阶导数在 $x=0$ 处的值；
- 写出麦克劳林级数，并求出收敛半径 $R$；
- 判断在 $(-R,R)$ 内，余项是否趋于零；
- 验证端点处的敛散性。
间接展开法
通过变量代换、四则运算、恒等变形、逐项求导或积分等方法，间接地求函数的展开式。
- 变量代换：
例如使用中间变量 $u=x \ln a$，可以通过 $e^u$ 的展开式来求得 $a^x$ 的展开式。 - 逐项求导：
例如在已知 $\sin x$ 的展开式的情况下，可以给它的每一项求导，从而得到 $\cos x$ 的展开式。 - 逐项积分：
例如为了求解 $\ln (1+x)$ 的展开式，可以利用 $[\ln (1+x)]’ = \frac{1}{1+x}$ 这个导数关系，得到 $\int_0^x \frac{1}{1+x} = \ln (1+x)$ 这个积分关系，然后将 $\int_0^x \frac{1}{1+x}$ 转换为已知的等比级数求和。
提示：
逐项求导或积分后，收敛域尤其在端点处可能改变。
二级结论：
牛顿二项式展开式：$(1+x)^a$ 在 $x \in (-1,1)$ 的展开式是
$$
1 + ax + \cdots + \frac{a(a-1)\cdots(a-n+1)}{n!} x^n + \cdots
$$在 $x=\pm1$ 处的敛散性与 $a$ 有关。
三角级数
形如
$$
\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos \frac{n\pi}{l} x + b_n \sin \frac{n\pi}{l} x)
$$
的级数称为三角级数。其中 $a_n$ 是余弦系数，$b_n$ 是正弦系数。显然，三角级数是周期函数，其周期为 $\frac{2l}{n}$。
正交性
组成三角级数的函数系
$$
1 ,\ \cos \frac{n\pi}{l} x ,\ \sin \frac{n\pi}{l} x \quad (n=1,2,\cdots)
$$
在 $[a,a+2l]$ 上是正交的，即其中任意两个不同函数之积在 $[a,a+2l]$ （整个周期）上的积分等于 $0$。这可以通过积化和差来证明。
提示：
- 注意正交性只对不同函数成立。对于相同函数之积，它们的积分不恒等于 $0$。例如：
- $\int_{-l}^{l} 1 \cdot 1 \ \text d x = 2l$
- $\int_{-l}^{l} \cos^2 \frac{n\pi}{l} x \ \text d x = l$
- $\int_{-l}^{l} \sin^2 \frac{n\pi}{l} x \ \text d x = l$
- 虽然 $\cos \frac{k\pi}{l} x$ 和 $\cos \frac{m\pi}{l} x$ 的三角函数同名，但是在 $k \neq m$ 的时候也是属于两个不同的函数。
傅里叶级数
傅里叶级数是三角级数，它是对周期函数 $f(x)$ 的展开，使得 $f(x)$ 可以被表示为正弦和余弦函数的和的形式。
展开法
为了将周期函数 $f(x)$ 展开成 $\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos \frac{n\pi}{l} x + b_n \sin \frac{n\pi}{l} x)$ 的形式，主要的任务是确定傅里叶系数 $a_n,b_n$ 的具体值。
如果该函数在一个周期上可积（假设周期为 $2l$），则傅里叶系数可以求出，下面展示推导过程。
求常数系数 $a_0$：
$$
\begin{align*}
f(x) &= \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos \frac{k\pi}{l} x + b_n \sin \frac{k\pi}{l} x) \cr
\Rightarrow \textcolor{violet}{\int_{-l}^{l}} f(x) \ \text d x &= \textcolor{coral}{\int_{-l}^{l}} \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{\infty} (a_k \textcolor{orange}{\int_{-l}^{l}} \cos \frac{k\pi}{l} x + b_k \textcolor{gold}{\int_{-l}^{l}} \sin \frac{k\pi}{l} x) \cr
&= \textcolor{coral}{2l \cdot \frac{a_0}{2}} + \sum_{k=1}^{\infty} (\textcolor{orange}{0} + \textcolor{gold}{0}) = \textcolor{coral}{l} a_0 \cr
\Rightarrow &\boxed{a_0 = \textcolor{coral}{\frac{1}{l}} \textcolor{violet}{\int_{-l}^{l}} f(x) \ \text d x}
\end{align*}
$$
提示：
其实常数系数 $a_0$ 就是余弦系数 $a_n$ 在 $n=0$ 时的特殊情况。
求余弦系数 $a_n$：
$$
\begin{align*}
f(x) &= \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos \frac{k\pi}{l} x + b_n \sin \frac{k\pi}{l} x) \cr
\Rightarrow \textcolor{violet}{\int_{-l}^{l}} f(x) \textcolor{royalblue}{\cos \frac{n\pi}{l} x} \ \text d x &= \textcolor{coral}{\int_{-l}^{l}} \frac{a_0}{2} \textcolor{royalblue}{\cos \frac{n\pi}{l} x} + \sum_{k=1}^{\infty} (a_k \textcolor{orange}{\int_{-l}^{l}} \cos \frac{k\pi}{l} x \textcolor{royalblue}{\cos \frac{n\pi}{l} x} + b_k \textcolor{gold}{\int_{-l}^{l}} \sin \frac{k\pi}{l} x \textcolor{royalblue}{\cos \frac{n\pi}{l} x}) \cr
&= \textcolor{coral}{0} + a_n \textcolor{orange}{\cos^2 \frac{n\pi}{l} x} + \textcolor{gold}{0} = \textcolor{orange}{l} a_n \cr
\Rightarrow &\boxed{a_n = \textcolor{orange}{\frac{1}{l}} \textcolor{violet}{\int_{-l}^{l}} f(x) \textcolor{royalblue}{\cos \frac{n\pi}{l} x} \ \text d x}
\end{align*}
$$
求正弦系数 $b_n$：
$$
\begin{align*}
f(x) &= \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos \frac{k\pi}{l} x + b_n \sin \frac{k\pi}{l} x) \cr
\Rightarrow \textcolor{violet}{\int_{-l}^{l}} f(x) \textcolor{royalblue}{\sin \frac{n\pi}{l} x} \ \text d x &= \textcolor{coral}{\int_{-l}^{l}} \frac{a_0}{2} \textcolor{royalblue}{\sin \frac{n\pi}{l} x} + \sum_{k=1}^{\infty} (a_k \textcolor{orange}{\int_{-l}^{l}} \cos \frac{k\pi}{l} x \textcolor{royalblue}{\sin \frac{n\pi}{l} x} + b_k \textcolor{gold}{\int_{-l}^{l}} \sin \frac{k\pi}{l} x \textcolor{royalblue}{\sin \frac{n\pi}{l} x}) \cr
&= \textcolor{coral}{0} + \textcolor{orange}{0} + b_n \textcolor{gold}{\sin^2 \frac{n\pi}{l} x} = \textcolor{gold}{l} b_n \cr
\Rightarrow &\boxed{b_n = \textcolor{gold}{\frac{1}{l}} \textcolor{violet}{\int_{-l}^{l}} f(x) \textcolor{royalblue}{\sin \frac{n\pi}{l} x} \ \text d x}
\end{align*}
$$
求得傅里叶系数后，不难发现 $f(x)$ 的奇偶性与傅里叶系数之间存在如下关系：
- 当 $f(x)$ 为奇函数时，余弦系数 $a_n$ 全为 $0$，此时的傅里叶级数是正弦级数；
- 当 $f(x)$ 为偶函数时，正弦系数 $b_n$ 全为 $0$，此时的傅里叶级数是余弦级数；
展开定理
为了确定周期为 $2l$ 的函数 $f(x)$ 是否能够进行傅里叶展开，我们需要确定它的傅里叶级数是否收敛。
当 $f(x)$ 满足狄利克雷条件时，它的傅里叶级数是收敛的，具体而言：
- 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点；
- 在一个周期内只有有限个极值点。
提示：
这说明，函数展开成傅里叶级数的条件限制，相较于展开成幂级数的要低得多。
并且有
- 当 $x$ 为连续点时，该点的傅里叶级数的值就是 $f(x)$ 本身；
- 当 $x$ 为间断点时，该点的傅里叶级数的值等于正负方向的均值，即 $\frac{f(x^+)+f(x^-)}{2}$。
广义展开法
为了将满足狄利克雷条件的非周期函数 $f(x)$ 也通过傅里叶级数展开，我们可以通过周期延拓的方法来操作。
所谓周期延拓，就是把原本不成周期的函数图像进行一些变换，得到周期性的函数图像。