各类积分的概念与计算
定积分
定积分的定义
为了求直角坐标系中非负连续曲线 $y = f(x)$ 与竖直线 $x=a, \ x=b \ (a<b)$ 和 $x$ 轴围成的曲边梯形的面积，提出定积分（Definite Integral）的概念。
定积分的求取步骤如下：
- 取点分割：用任意一组分点 $a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_{n-1}<x_n=b$，将区间 $[a, b]$ 分成 $n$ 个小区间，也将曲边梯形分成了 $n$ 个小曲边梯形。用 $\Delta S_i$ 表示第 $i$ 个小曲边梯形的面积，则大曲边梯形的面积 $S = \sum_{i=1}^{n} \Delta S_i$。
- 近似求和：在每个小区间 $[x_{i-1}, x_i]$ 内任取一点 $\xi_i \ (x_{i-1}<\xi_i<x_i)$，用高为 $f(\xi_i)$，宽为 $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$ 的小矩形的面积来近似代替第 $i$ 个小曲边梯形的面积，即 $\Delta S_i \approx f(\xi_i) \Delta x_i$，那么 $S \approx \sum_i^n f(\xi_i) \Delta x_i$。
- 取极限：记最大的区间长度 $\lambda = \max{\Delta x_i}$，则当 $\lambda \to 0$ 时，$S = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i$。需要注意，取极限这一步的操作并不是 $n \to +\infty$ 而是 $\lambda \to 0$。
如果不管区间 $[a, b]$ 如何分法，也不管 $\xi_i$ 如何取法，当 $\lambda \to 0$ 时，和式 $\lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i$ 总有共同的极限 $I$，则称 $I$ 为函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的定积分，记作：
$$
\int_a^b f(x) \text d x = I = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i
$$
其中，$\int$ 是积分记号，$a$ 是积分下限，$b$ 是积分上限，$x$ 是积分变量。
提示：
- 非正连续函数所形成的曲边梯形的面积为负值。
- 定积分是一个数。定积分的“定”指的是确定的、不会改变的。
- 定积分的积分值只与函数和区间有关，与积分变量的记法无关。
定积分的存在性
若函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的定积分存在，则称 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积。
关于定积分的存在性问题，主要有以下两个判据：
- $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续。
- $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有界，且只有有限个间断点。
在上述两种情况下，定积分是存在的。
对被积函数变动有限个点的值，可积性不变，积分值不变。也就是说，给定两个函数，在有限个点处具有不同的函数值，如果其中一个函数可积，那么另一个函数也可积，且积分值相等。
定积分的性质
对于定积分 $\int_a^b f(x) \text d x$ 作出如下规定：
- 当积分上下限重合，即 $a=b$ 时，积分值为 $0$。
- 当积分下限比上限大，即 $a>b$ 时，积分值等同于上下限互换后的结果。
性质1（积分上下限互换）：
$$
\int_a^b f(x) \text d x = -\int_b^a f(x) \text d x
$$
性质2（被积函数为常函数）：
$$
\int_a^b k \text d x = k(b-a)
$$
性质3（被积函数的数乘）：
$$
\int_a^b k f(x) \text d x = k \int_a^b f(x) \text d x
$$
性质4（被积函数的加减法）：
$$
\int_a^b [f(x) \pm g(x)] \text d x = \int_a^b f(x) \text d x \pm \int_a^b g(x) \text d x
$$
性质5（积分区间的拆分）：
$$
\int_a^b f(x) \text d x = \int_a^c f(x) \text d x + \int_c^b f(x) \text d x
$$
提示：
不需要保证拆分点 $c \in (a, b)$。点 $c$ 在积分区间外时该性质也成立。
性质6（积分值的保号性）：
设 $a<b$ 则
$$
f(x)|_{x \in [a, b]} \geq 0 \Rightarrow \int_a^b f(x) \text d x \geq 0
$$
$$
f(x)|{x \in [a, b]} \geq g(x)|{x \in [a, b]} \Rightarrow \int_a^b f(x) \text d x \geq \int_a^b g(x) \text d x
$$
$$
\left| \int_a^b f(x) \text d x \right| \leq \int_a^b \left| f(x) \right| \text d x
$$
性质7（积分值的估计）：
设 $a<b$，被积函数局部最大值 $M = \max_{[a, b]} f(x)$，局部最小值 $m = \min_{[a, b]} f(x)$，则
$$
m(b-a) \leq \int_a^b f(x) \text d x \leq M(b-a)
$$
性质8（积分中值定理）：
若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则至少存在一点 $\xi \in [a, b]$ 使得
$$
\int_a^b f(x) \text d x = f(\xi)(b-a)
$$
提示：
- 积分中值定理的几何解释是，在 $[a, b]$ 内至少存在一个点 $\xi$，使得 $y = f(x)$ 在 $[a, b]$ 内形成的曲边梯形的面积等于底边相同而高为 $f(\xi)$ 的矩形的面积。
- 可以把 $\frac{\int_a^b f(x) \text d x}{b-a} = f(\xi)$ 视作 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的平均值。
定积分小妙招
- 对称区间积分：偶倍奇零；
- 对称区间积分推广：不管奇偶性，$\int_{-a}^{a} f(x) \text d x = \int_0^a [f(x)+f(-x)] \text d x$；
- 周期函数积分：一个周期的积分，可以改起点；
- 高次正余弦定积分：$\int_0^\frac{\pi}{2}$ 的 $\sin x$ 或 $\cos x$ 的 $n$ 次幂，可以使用华理士公式（点火公式）；
- $\int_0^\pi x f(\sin x) \text d x = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi f(\sin x) \text d x$。
不定积分
不定积分的概念
$f(x)$ 在某个区间上的原函数全体称为 $f(x)$ 在该区间上的不定积分。
若原函数的导数 $F’(x) = f(x)$，则
$$
\int f(x) \text d x = F(x) + C
$$
其中 $F(x)$ 就是其中一个原函数。连续函数一定有原函数（只是容不容易求得的问题了）。
注意：
积分常数 $C$ 不能少！原函数不仅有一个！
类似定积分，不定积分满足数乘和加减法规律。此外，还有一条额外性质——积分记号 $\int$ 和 微分记号 $\text d$ 是可以抵消的，例如：
- $\text d (\int f(x) \text d x) = f(x) \text d x$。
- $\int F’(x) \text d x = \int \text d F(x) = F(x) + C$
由于积分运算和微分运算是互逆的，因此可以从求导公式得出积分公式。由此得到了一些标准积分公式，组成基本积分表。参见 标准积分公式整理。
换元积分法
换元积分法的关键是利用复合函数、设置中间变量，尽可能地将所求的积分表达式转化为容易求积分的表达式。
以下示例演示了换元积分法的基本原理：
求 $\int \cos 2x \text d x$ 的积分时，发现 $\cos 2x$ 不是一个标准积分。
不妨设 $t = 2x$ 从而有 $\text d x = \frac{1}{2} \text d t$。故 $\int \cos 2x = \int \frac{1}{2} \cos t \text d t$，此时 $\cos t$ 是标准积分，容易求得。
由此求得积分结果为 $\frac{1}{2} \sin t + C$，最后将 $t$ 还原得 $\frac{1}{2} \sin 2x + C$。
在“凑微分”的过程中，观察重点不同，所得结论不同。常见的换元方式如下：
- 一次型 $\int f(ax+b) \text d x = \frac{1}{a} f(ax+b) \text d (ax+b)$
- 多项式型 $\int f(x^n)x^{n-1} \text d x = \frac{1}{n} \int f(x^n) \text d x^n$
- 三角函数型（举一例） $\int f(\sin x)\cos x \text d x = \int f(\sin x) \text d \sin x$
- 指数函数型 $\int f(e^x)e^x = \int f(e^x) \text d e^x$
- 对数函数型 $\int f(\ln x)\frac{1}{x} = \int f(\ln x) \text d \ln x$
显然，掌握换元积分法的关键是熟悉各类函数的导数，并且有一定的经验积累。
注意：
- 若是使用换元积分法求解定积分，则需记住换元必换限，即换元后需要重新计算积分上下限的值。
- 有时由于换元导致的定义域和值域变动，可能需要分区间处理。例如求解定积分 $\int_{-1}^{2} x^2 \ \text d x$ 时，如果使用 $t=x^2, \ x=\sqrt{t}$ 换元变成 $\int_{1}^{4} \frac{1}{2} t \ \text d t$ 则会计算出错误的结果。这是因为没有考虑 $x$ 为负的情况，此时需要根据 $x=\pm\sqrt{t}$ 在不同区间的具体取值来分段求解。
第二类换元积分法
- 三角换元 $x=a\sin t$：可以使得 $\sqrt{a^2-x^2}=a\cos t$
- 三角换元 $x=a\tan t$：可以使得 $\sqrt{a^2+x^2}=a\sec t$
- 三角换元 $x=a\sec t$：可以使得 $\sqrt{x^2-a^2}=a|\tan t|$
- 根式换元 $t=\sqrt[n]{ax+b}：可以使得 $x=\frac{1}{a}(t^n-b)$
- 倒代换适用于分母最高次数高于分子的情形：可以使得 $x=\frac{1}{t}$
三角换元必要时绘制辅助三角形。
分部积分法
$$
\int u(x) \text d v(x) = u(x)v(x) - \int v(x) \text d u(x)
$$
让何种函数作为 $u(x)$ 置于 $\text d$ 的前面呢？有个活泼型规则叫做“反对幂指三”，即反三角>对数>幂>指数>三角，当这五种函数中的两种函数同时出现在一个积分式子中，则很可能要使用分部积分法，并且排名越靠前的函数越应该放在 $\text d$ 的前面。
在连续使用分部积分法时，需要注意“始终如一”原则。同时，对于指数函数乘以三角函数或者幂函数，使用表格法可以更加快速和程序化地进行连续分部积分。
* 指数函数乘以三角函数有固定公式。
有理函数积分
一般有理分式
拆最简有理分式之和。
……
三角函数有理分式
万能代换 $u=\tan\frac{x}{2}$ 得到：
$$
\sin x = \frac{2u}{1+u^2} \quad \cos x = \frac{1-u^2}{1+u^2} \quad \text d x = \frac{2}{1+u^2} \text d u
$$
此法主要适用于 $\sin,\cos$ 的次数较低的情况。
连续分段函数的积分
变限积分
反常积分
反常积分，又称广义积分或非正常积分，是指那些积分区间是无穷限，或者在积分区间内被积函数无界的积分。
由于积分区间的端点是无穷大，或者被积函数在瑕点趋于无穷大，因此传统的定积分定义无法直接使用，需要通过极限的方式重新加以定义。可以说，反常积分的核心在于通过极限方法来定义和判断其是否收敛。
无穷限反常积分
如果积分的区间是无穷大的，如 $(a, +\infty)$ 或 $(-\infty, +\infty)$，我们就称这种积分为无穷限反常积分。由于积分是无穷限，因此需要使用极限来定义它。
单侧无穷限的情形
对于上限为正无穷的反常积分：
$$
\int_{a}^{+\infty} f(x) \text d x = \lim_{b \to +\infty} \int_a^b f(x) \text d x
$$
如果上述极限存在，则该反常积分收敛且积分结果等于极限值，否则该反常积分发散。
对于下限为负无穷的反常积分，也有类似结论。
有些积分经过变形可以转化为 $\int_{a}^{+\infty} \frac{1}{x^p} \ (a>0)$ 的形式，此时：
- 当 $p>1$ 时，收敛；
- 当 $p \leq 1$ 时，发散。
双侧无穷限的情形
对于上下限都是无穷大的反常积分，用区间内的任意常数 $c$ 做拆分：
$$
\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \text d x = \lim_{a \to -\infty} \int_a^c f(x) \text d x + \lim_{b \to +\infty} \int_c^b f(x) \text d x
$$
等式右侧的两个极限必须都存在，该反常积分才收敛，否则发散。
此外，若等式右侧出现 $\infty - \infty$ 的形式，这并非是未定式，而是表明该反常积分发散。
无界函数反常积分
如果积分区间内或者端点处，被积函数存在无穷大的点，我们就称该点为瑕点，又称奇异点。这种积分为无界函数反常积分，又称瑕积分，同样需要使用极限来定义它。
端点处无界的情形
对于定义在区间 $(a, b]$ 内的 $f(x)$，如果点 $a$ 的右邻域无界，则取 $\epsilon > 0$，那么该函数在 $(a, b]$ 的反常积分可以定义为：
$$
\int_a^b f(x) \text d x = \lim_{\epsilon \to 0^+} \int_{a+\epsilon}^{b} f(x) \text d x
$$
同样地，该反常积分收敛也要求极限存在。
对于定义在 $[a, b)$ 内的 $f(x)$，如果点 $b$ 的左邻域无界，也有类似结论。
有些积分经过变形可以转化为 $\int_a^b \frac{1}{(x-a)^p}$ 的形式，此时：
- 当 $p<1$ 时，收敛；
- 当 $p \geq 1$ 时，发散。
区间内无界的情形
对于在区间 $[a, b]$ 内除了 $c \ (a<c<b)$ 点外连续的 $f(x)$，如果在点 $c$ 的邻域无界，那么该函数在 $[a, b]$ 的反常积分可以定义为：
$$
\int_a^b f(x) \text d x = \lim_{\epsilon_1 \to 0^+} \int_{a}^{c-\epsilon_1} f(x) \text d x + \lim_{\epsilon_2 \to 0^+} \int_{c+\epsilon_2}^{b} f(x) \text d x
$$
同样地，该反常积分收敛也要求等号右侧的两个极限都存在。
反常积分的审敛法
……
各类积分的概念与计算