定积分的应用
求解面积
以下介绍了使用定积分求解平面图形的面积的公式。在实际应用中，还应考虑图形是否具有对称性等特殊性质，从而简化求解。
直角坐标系情形
曲线与坐标轴所围面积
欲求曲线 $y = f(x)$ 与竖直线 $x=a, \ x=b \ (a<b)$ 和 $x$ 轴所围成的曲边梯形面积 $A$，只需对 $f(x) \text d x$ 做定积分即可。
$$
A = \int_a^b f(x) \text d x
$$
如果外围坐标轴从 $x$ 轴变更为 $y$ 轴，只需求得关系式 $x = g(y)$，并将 $y$ 作为积分变量。
如果曲线由参数方程确定：
$$
\begin{cases}
x = \Phi(t) \cr
y = \Psi(t) \cr
\end{cases}
$$
在图形上按照顺时针方向确定起点和终点的参数值 $t1,t2$，则曲边梯形面积由下式求得：
$$
A = \int_{t_1}^{t_2} \Psi(t) \cdot \Phi’(t) \text d t
$$
这是由 $A = \int_{t_1}^{t_2} y \text d x$ 推得的。
曲线与曲线所围面积
对于两个曲线 $y = f(x)$ 和 $y = g(x)$，通常需要求二者的交点，并确定在各个区间内的大小关系，从而由下式分段求解：
$$
A = \int_a^b |f(x) - g(x)| \text d x
$$
极坐标系情形
曲线与射线所围面积
欲求由极坐标方程 $\rho = \rho(\theta)$ 确定的连续曲线与射线 $\theta = \alpha \ \theta = \beta \ (\beta > \alpha)$ 所围成的图形的面积，只需取角度 $\theta$ 为积分变量，根据下式做定积分即可。
$$
A = \int_\alpha^\beta \frac{1}{2} \rho^2(\theta) \text d \theta
$$
求解体积
以下介绍了使用定积分求解立体图形的体积的公式。体积求解的运算过程中常会使用“偶倍奇零”的技巧，即根据对称性将偶函数部分求解一半再扩大一倍，将奇函数部分抵消为零。
旋转体
旋转体是由一个平面图形绕着平面内一条直线（旋转轴）旋转一周所形成的立体图形。
假设旋转体是由连续曲线 $y = f(x)$ 的曲边梯形绕 $x$ 轴旋转得到的，则体积 $V$ 可由下式求得：
$$
{V = \int_a^b \pi f^2(x) \text d x}
$$
非旋转体
对于非旋转体的立体图形，如果知道它垂直于某个轴的各个截面的截面面积函数 $A(x)$，那么也可使用定积分求体积。
求解弧长
曲线的弧长可以通过将曲线分成无穷多个折线再对它们的长度求和来求得。并不是所有的曲线都能求弧长，已知光滑曲线的弧长是可求的。
直角坐标系情形
弧长元素，即小折线的长度是 $\text d s = \sqrt{(\text d x)^2+(\text d y)^2} = \sqrt{1+{y’}^2}\text d x$。因此，曲线在横坐标 $a$ 至 $b$ 间的弧长可由下式求得：
$$
s = \int_a^b \sqrt{1+{f’}^2(x)} \text d x
$$
如果曲线由参数方程确定：
$$
\begin{cases}
x = \Phi(t) \cr
y = \Psi(t) \cr
\end{cases}
$$
则曲线在参数 $t_1$ 至 $t_2$ 间的弧长为：
$$
s = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{ {\Psi’}^2(t) \cdot {\Phi’}^2(t) } \text d t
$$
极坐标系情形
极坐标方程 $\rho = \rho(\theta)$ 下，则曲线在角度 $\alpha$ 至 $\beta$ 间的弧长为：
$$
s = \int_\alpha^\beta \sqrt{\rho^2(\theta)+{\rho’}^2(\theta)} \text d \theta
$$
求解物理数据
变力做功
假设物体在连续变力 $F(x)$ 的作用下沿 $x$ 轴从 $x=a$ 移动到 $x=b$ 处，且力的方向与运动方向平行，则所做的功可以直接求得。
$$
W = \int_a^b F(x) \text d x
$$
如果力的方向与运动方向不平行，则需要根据几何关系进行力的分解。
液体静压力
假设液体密度为 $\rho$，重力加速度为 $g$。如果液体内深度为 $h$ 处的一个平板与液面平行，则平板受到的压力为 $F=pA=\rho ghA$。
如果平板的上边与液面平行（长度为 $a$）且深度为 $h$，侧边与液面不平行（长度为 $b$）且与水平面的夹角为 $\theta$。可以取液面上的某点为原点，令 $x$ 轴竖直向下，取 $x$ 为积分变量。根据几何关系，积分区间为 $[h, h+b \sin \theta]$，任取小区间的面积为 $a \frac{\text d x}{\sin \theta}$，则平板侧面所受压力可由下式求得：
$$
F = \int_{h}^{h+b \sin \theta} \rho gxa \frac{\text d x}{\sin \theta}
$$
引力或静电力
质点（或点电荷）之间的引力（或静电力）可以直接使用物理公式计算。
- 质点间引力 $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$
- 点电荷间静电力 $F = k \frac{q_1 q_2}{r^2}$
但是，若需考虑前者与宏观物体之间的引力（或静电力），则需要使用定积分解决。
通常，会给出线密度（或电荷密度）关于物体上的点的位置的方程。使用该方程计算小区间的力并做积分即可。