常数项级数
前置知识
无穷级数
给定一个无限数列 $u_1,u_2,\cdots,u_n,\cdots$ 并将各项依次相加，得到的和式 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 被称为无穷级数（简称级数）。
其中 $u_n$ 被称为级数的通项（又称一般项）。通俗地讲，无穷级数就是无限个数字相加所得的和式。
无穷级数分为常数项级数和函数项级数两种类型：
- 常数项级数是由无限个确定的数字（常数）相加得到的无穷级数。
- 函数项级数是由无限个定义在某个区间 $I$ 上的函数相加得到的无穷级数。
本文介绍的是第一种类型。
敛散性
研究无穷级数的性质，主要是研究它的敛散性。
如果级数的前 $N$ 项和（部分和）$S_N = \sum_{k=1}^{N} u_k$ 在 $n \to \infty$ 时的极限 $\lim_{n \to \infty} S_N = S$ 存在，则称级数收敛且 $S$ 为级数的和，否则级数发散。也就是说，级数的敛散性问题就是判断部分和数列的极限的问题。
正项级数
各项均非负的级数被称为正项级数，它的部分和数列 $S_N$ 是单调增加的数列。
- 正项级数收敛 $\Leftrightarrow$ $S_N$ 有界；
- 正项级数发散 $\Leftrightarrow$ $\lim_{n \to \infty}=+\infty$。
比较审敛法
（常规表述） 给定两个正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$，且后者的每一项都不大于前者，即 $u_n \leq v_n$，那么
- 若“大级数” $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 收敛，则“小级数” $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 也收敛；
- 若“小级数” $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散，则“大级数” $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 也发散。
二级结论：
以下是常用的用于比较的级数：
- $p$ 级数：通项是 $\frac{1}{n^p}$ 的级数，仅当 $p>1$（注意是严格大于）的时候才收敛。
- 调和级数：$p$ 级数在 $p=1$ 时的特殊情况，它是发散的。
（极限表述） 给定两个正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$，定义比值 $l=\lim_{n \to \infty} \frac{u_n}{v_n}$，那么
- 若 $l=0$，则“分母级数” $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 收敛，“分子级数” $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 也收敛；
- 若 $l=+\infty$，则“分母级数” $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 发散，“分子级数” $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 也发散；
- 否则（$0<l<+\infty$ 时），两者具有相同的敛散性。
推论：
分子和分母都是关于 $n$ 的多项式/幂函数时，若分母比分子的最高次大 $1$ 则级数收敛。
比值审敛法（达朗贝尔判别法）
对于正项级数的前后两项，作比值并取极限 $\rho = \lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}$：
- $\rho<1$ 时，级数收敛；
- $\rho>1$ 时，级数发散；
- $\rho=1$ 时，此审敛法失效。
根值审敛法（柯西判别法）
对于正项级数的通项，作 $n$ 次方根并取极限 $\rho = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{u_n}$：
- $\rho<1$ 时，级数收敛；
- $\rho>1$ 时，级数发散；
- $\rho=1$ 时，此审敛法失效。
区别与联系：
比值审敛法和根值审敛法在关于 $\rho$ 的大小判定方面是一致的。当级数通项含有阶乘项、连乘积/商时，优先考虑比值；当级数通项含有次幂因子时，优先考虑根值。
交错级数
各项符号正负相间的级数，形如
$$
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} u_n
$$
$$
= u_1-u_2+u_3-\cdots+(-1)^{n-1}u_n+\cdots
$$
被称为交错级数。
交错级数测试（莱布尼兹判别法）
若交错级数满足下述条件（其中 $u_n$ 指的是不带符号的通项）：
- $u_n$ 单调递减，即 $u_n \geq u_{n+1}$；
- $u_n$ 趋近于 $0$，即 $\lim_{n \to \infty} u_n = 0$。
则交错级数 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} u_n$ 收敛，且其和 $S<u_1$，余项 $|r_n|<u_{n+1}$。
任意项级数
各项的正负性没有限制的级数被称为任意项级数。
绝对收敛
任意项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 取绝对值后，若 $\sum_{n=1}^{\infty} |u_n|$ 收敛，则原级数绝对收敛。
绝对收敛的级数一定收敛。于是可以“将任意项级数变成正项级数”，从而判断原级数是否收敛。
条件收敛
任意项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 已知收敛，但是取绝对值后的级数发散（绝对发散），则原级数条件收敛。
复数项级数
各项属于复数集 $\mathbb{C}$ 的级数，形如
$$
\sum_{n=1}^{\infty} (u_n+iv_n)
$$
被称为复数项级数。
复数项级数的收敛条件是 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 同时收敛，其和为 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n + i \sum_{n=1}^{\infty} v_n$。
复数项级数的绝对收敛的判别是 $\sum_{n=1}^{\infty} |u_n+iv_n| = \sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{u_n^2+v_n^2}$ 收敛。
重要复数公式
欧拉公式：
$$
e^{ix} = \cos x + i\sin x \quad e^{-ix} = \cos x - i\sin x
$$
$$
\cos x = \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2} \quad \sin x = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}
$$
棣莫弗公式：
$$
(\cos \theta + i\sin \theta)^n = e^{in\theta} = \cos n\theta + \sin n\theta
$$