线性代数基础
本文整理了线性代数中的基本概念和重要公式。
矩阵
矩阵的逆
$A$ 可逆的充要条件是 $|A| \neq 0$。
行列式
常用性质
- 矩阵转置后，行列式的值不变，即 $|A| = |A^T|$。
- 矩阵乘积的行列式等于它们行列式的乘积，即 $|A||B| = |AB|$。
初等变换
性质
- 将行列式任意两行（或列）交换，行列式的值变号。
- 将行列式的某一行（或列）数乘 $k$ 倍，行列式的值也同样被数乘 $k$ 倍。
- 将行列式的某一行（或列）叠加到另一行（或列），行列式的值不变。
推论
- 若 $|A|$ 中存在两行（或列）相同，则 $|A| = 0$。
- 若 $|A|$ 中存在两行（或列）成比例，则 $|A| = 0$。
- 若 $|A|$ 中存在全部为零的行（或列），则 $|A| = 0$。
行列式展开
克莱姆法则
$$
D = 0 \Leftrightarrow x \ \text{has} \ 0 \ \text{or} \ \infin \ \text{solution} \
D \neq 0 \Leftrightarrow x \ \text{has} \ 1 \ \text{solution}
$$
伴随矩阵
$$
AA^* = A^*A=|A|E \
$$
推论：
$$
A^{-1} = \frac{A^*}{|A|} \
|A^*| = |A|^{n-1}
$$
秩
对应丘维声课程：034，035，036，037
“秩是多么深刻啊！”
矩阵的秩
由于：
- 定理 1： 矩阵 $J$ 如果是阶梯形矩阵，则满足列秩 $=$ 行秩 $=$ 矩阵 $J$ 的非零行个数，并且 $J$ 的主元所在列共同构成 $J$ 的一个极大线性无关组。
- 定理 2： 矩阵的初等行（或列）变换不改变矩阵的行秩。
- 定理 3： 矩阵的初等行（或列）变换不改变列向量组的线性相关性，从而不改变矩阵的列秩。
从而：
- 定理 4： 任意矩阵的行秩 $=$ 列秩。
- 定义 1： 矩阵 $A$ 的行秩和列秩统称为矩阵的秩，记作 $\text{rank}(A)$，简写为 $\text{r}(A)$。
因此：
- 推论 1（阶梯化的一致性）： 矩阵 $A$ 的秩等于该矩阵经过初等行变换得到的阶梯形矩阵 $J$ 的非零行个数，并且如果 $J$ 的主元在第 $j_1,\cdots,j_c$ 列，则 $A$ 的第 $j_1,\cdots,j_c$ 共同构成 $A$ 的一个极大线性无关组。
- 推论 2（转置的一致性）： 矩阵 $A$ 的秩等于它的转置矩阵 $A^T$ 的秩，即 $\text{rank}(A) = \text{rank}(A^T)$。
矩阵的秩与子式的关系
对于非零矩阵 $A$，设 $A$ 的秩 $\text{rank}(A) = r$：
定理 5： 矩阵 $A$ 的秩等于 $A$ 的非零子式的最高阶数。反过来，则 $A$ 的凡是阶数大于 $r$ 的子式都为零。
推论 3： 矩阵 $A$ 的 $r$ 阶子式所在的行（或列）共同构成 $A$ 的行（或列）向量组的一个极大线性无关组。
矩阵的满秩
对于 $n$ 级方阵 $A$：
- 定义 2： 如果方阵 $A$ 的秩等于 $n$，则称 $A$ 满秩。
- 推论 4： 方阵 $A$ 满秩的充要条件是 $|A| \neq 0$。
线性方程组的解
对应丘维声课程：037，038，039，040
解的判别
对于数域 $K$ 上的 $n$ 元线性方程组：
- 定理 1： 线性方程组有解的充要条件是，该方程组的增广矩阵 $\tilde{A}$ 的秩等于系数矩阵 $A$ 的秩。
有解时：
- 当 $\text{rank}(A) = n$ 时，有唯一解。
- 当 $\text{rank}(A) < n$ 时，有无穷多个解。
- 推论： 如果线性方程组是齐次地，则有非零解就必然有无穷多个解。反过来，有唯一解就必然只有零解。
解的结构
齐次线性方程组
对于数域 $K$ 上的 $n$ 元齐次线性方程组 $Ax=\mathbf{0}$，记其解集为 $W$。
- 性质 1： $W$ 是 $K^n$ 的一个子空间。
- 定义 1： 称 $W$ 为 $Ax=\mathbf{0}$ 的一个解空间。
- 定理 2： 有非零解（无穷多个解）时，满足 $\text{rank}(A) < n$。设 $\text{rank}(A) = r$，则 $W$ 的一组基可以是该方程组的特解 $\eta_1,\cdots,\eta_{n-r}$，此时 $\text{dim}(W) = n - r$。
- 定义 2： 称 $W$ 的一组基为 $Ax=\mathbf{0}$ 的一个基础解系。
- 定理 3： 齐次线性方程组 $Ax=\mathbf{0}$ 的全部解是 $W$ 的线性组合，即 $k_1\eta_1+\cdots+k_{n-r}\eta_{n-r}=$，其中 $k_1,\cdots,k_{n-r} \in K$。
非齐次线性方程组
对于数域 $K$ 上的 $n$ 元非齐次线性方程组 $Ax=\beta$，其中 $\beta \neq \mathbf{0}$，记其解集为 $U$。考虑其相应的齐次线性方程组 $Ax=\mathbf{0}$，记其解集为 $W$。
由于：
- 性质 2： 如果 $\gamma, \delta \in U$，则 $\gamma - \delta = \mathbf{0}$，即 $\gamma - \delta \in W$。
- 性质 3： 如果 $\gamma \in U, \eta \in W$，则 $\gamma + \eta = \beta$，即 $\gamma + \eta \in U$。
从而：
- 性质 4： 如果特解 $\gamma_0 \in U$，则 $\gamma_0 + W := {\gamma_0 + \eta \ | \ \eta \in W} = U$。
因此：
- 定理 4： 非齐次线性方程组 $Ax=\beta$ 的解集 $U$ 为 $U = \gamma_0 + W$，其中 $\gamma_0$ 是该方程组的一个特解，而 $W$ 是相应的齐次线性方程组的基础解系。