高等数学（下）知识框架

空间解析几何

向量

概念

定义： 既有大小又有方向的量。可以用有向线段 $\vec{M_1M_2}$、带箭头字母 $\vec{a}$、粗体字母 $\mathbb{a}$ 来表示。

向量的模： 向量的大小，记作 $|\vec{M_1M_2}|$ 或 $|\vec{a}|$ 或 $|\mathbb{a}|$。

向径（矢径）： 起点为原点的向量。

自由向量： 与起点无关的向量（即只考虑大小和方向的向量）。

单位向量： 模为 $1$ 的向量。

零向量： 模为 $0$ 的向量，记作 $\vec{0}$ 或 $\mathbb{0}$（与任何向量平行）。

基本关系

相等： 大小和方向都相同，记作 $\vec{a} = \vec{b}$。

负向量： 大小相同但方向相反，记作 $-\vec{a}$。

平行（共线）： 方向相同或相反，记作 $\vec{a} \parallel \vec{b}$。

共面： $k \ (\ge 3)$ 个向量经平移可移动到同一平面上。

线性运算

加法： 平行四边形法则或三角形法则。满足交换律和结合律。

减法： $\vec{b}-\vec{a} = \vec{b}+(-\vec{a})$，口诀“首首相连，方向指被减”。

向量的三角不等式：
$|\vec{a}\pm\vec{b}| \le |\vec{a}|+|\vec{b}|$

数乘： 满足结合律和分配律，且有模关系 $|\lambda\vec{a}| = |\lambda||\vec{a}|$。

单位向量计算方法：
$|\vec{e_{\vec{a}}}| = \frac{1}{|\vec{a}|} \vec{a}$

平行

定理： $\vec{b} \parallel \vec{a} \Leftrightarrow \vec{b} = \lambda\vec{a}$，其中 $\vec{a}$ 为非零向量，$\lambda$ 为唯一实数。

夹角

定义： 有非零向量 $\vec{a},\vec{b}$，任取空间一点 $O$，作 $\vec{OA} = \vec{a},\vec{OB} = \vec{b}$，规定属于 $[0,\pi]$ 的角 $\angle AOB$ 为两个向量的夹角，记作 $\widehat{(\vec{a},\vec{b})}$ 或 $\widehat{(\vec{b},\vec{a})}$。

注意：
特别地，如果两个向量中存在一个零向量，那么夹角可以取得 $[0,\pi]$ 中的任何值。

投影

定义： 设向量 $\vec{AB}$ 的起点和终点在投影轴 $u$ 上的投影点分别是 $A’$ 和 $B’$，则 $\vec{A’B’}$ 是该向量的投影向量（或称在 $u$ 轴上的分向量）。此时 $|\vec{A’B’}|$ 称为该向量在 $u$ 轴上的投影，记作 $\text{Prj}_u \vec{AB} = \vec{A’B’}$。

注意：
投影是一个数量，投影向量是一个向量。
向量的平移不改变它在指定轴上的投影。

性质 1： （投影定理）投影等于模乘以轴夹角 $\phi$ 的余弦，即

$$
\text{Prj}_u \vec{AB} = |\vec{AB}| \cos \phi
$$

性质 2： 向量的加法和投影运算的先后顺序可以交换。

性质 3： 向量的数乘和投影运算的先后顺序可以交互。

向量坐标

空间直角坐标

坐标系： 过空间一定点 $O$，由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系（坐标轴 3 个、坐标面 3 个、卦限 8 个）。

点坐标： 点 $M$、有序数组 $(x,y,z)$、向径 $\vec{r}$ 可以形成一一对应关系，此时 $(x,y,z)$ 称为点 $M$ 在空间直角坐标系上的坐标。

向量坐标： 在空间直角坐标系下，任意向量 $\vec{r}$ 可用向径 $\vec{OM}$ 表示。以 $\hat{i},\hat{j},\hat{k}$ 分别表示 $x,y,z$ 轴上的单位向量，设点 $M(x,y,z)$，则 $\vec{r} = x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k} = (x,y,z)$ 称为该向量的坐标表达式，此时 $(x,y,z)$ 称为该向量的坐标。

向量坐标与向量运算： 向量之间的线性运算可以转化为坐标分量 $x,y,z$ 之间的线性运算。

向量坐标与向量平行： 平行向量的对应坐标成比例，即

$$
\begin{align*}
\vec{b} \parallel \vec{a} &\Leftrightarrow \vec{b} = \lambda\vec{a} \cr
&\Leftrightarrow \frac{b_x}{a_x} = \frac{b_y}{a_y} = \frac{b_z}{a_z}
\end{align*}
$$

注意：
上述连等式中，三个分母 $a_x,a_y,a_z$ 不全为零即可，并不需要全部非零。如果有分母为零的情况出现，则理解为该分式的分子也需要为零。

两点间距离

两点间距离公式： 任意维空间的两点 $M_1,M_2$ 间的距离（即向量 $\vec{M_1M_2}$ 的模），是各正交轴坐标的差值的平方和的平方根，在三维空间中

$$
d = |\vec{M_1M_2}| = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}
$$

定比分点公式： 在 $AB$ 上有一点 $M$ 使得 $\vec{AM} = \lambda\vec{MB}$，求 $M$ 的坐标的要点在于使用向径和坐标分解。过程如下

$$
\begin{align*}
\vec{AM} &= \vec{OM}-\vec{OA} \cr
\vec{MB} &= \vec{OB}-\vec{OM} \cr
\Rightarrow& \ \vec{AM} = \lambda\vec{MB} = \vec{OM}-\vec{OA} = \lambda(\vec{OB}-\vec{OM}) \cr
\Rightarrow& \ \vec{OM} = \frac{1}{1+\lambda} (\vec{OA}+\lambda\vec{OB}) \cr
\Rightarrow& \ (x,y,z) = \frac{1}{1+\lambda} (x_1+\lambda x_2,y_1+\lambda y_2,z_1+\lambda z_2)
\end{align*}
$$

中点公式： 当 $\lambda = 1$ 时的定比分点公式即为中点公式（分母为 $2$）。

方向余弦

定义： 非零向量 $\vec{a} = (x,y,z)$ 与各个坐标轴的夹角称为方向角（与 $x,y,z$ 轴的夹角分别记作 $\alpha,\beta,\gamma$）。方向角的余弦值简称方向余弦。

性质 1： 方向余弦与坐标分量有如下关系

$$
\begin{align*}
\cos\alpha &= \frac{x}{|\vec{a}|} = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \cr
\cos\beta &= \frac{y}{|\vec{a}|} = \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \cr
\cos\gamma &= \frac{z}{|\vec{a}|} = \frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \cr
\end{align*}
$$

性质 2： 各个方向余弦的平方和为 $1$，即 $\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma = 1$。

性质 3： 可以用方向余弦来表示与某向量同方向的单位向量，即 $\vec{e_{\vec{a}}} = (\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$。

向量乘积

数量积

数量积又称点积或内积。 数量级反映加权投影。运算结果是一个数。满足交换律、结合律和分配律。算式和核心性质如下

$$
\begin{align*}
\vec{a}\cdot\vec{b} &= |\vec{a}||\vec{b}| \cos\theta \cr
&= |\vec{a}| \text{Prj}{\vec{a}} \vec{b} = |\vec{b}| \text{Prj}{\vec{b}} \vec{a} \cr
&= a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z \cr \cr
\vec{a}\cdot\vec{b} &= 0 \Leftrightarrow \vec{a}\perp\vec{b} \cr \cr
\cos\theta &= \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z}{\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}\sqrt{b_x^2+b_y^2+b_z^2}}
\end{align*}
$$

向量积

向量积又称叉积或外积。 向量积反映几何上的平行四边形面积。运算结果是一个向量。满足反交换律、结合律和分配律。算式和核心性质如下

$$
\begin{align*}
\vec{c} = \vec{a}\times\vec{b} &=
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \
a_x & a_y & a_z \
b_x & b_y & b_z
\end{vmatrix}
\cr \cr
\vec{a}\times\vec{b} &= \vec{0} \Leftrightarrow \vec{a}\parallel\vec{b}
\end{align*}
$$

混合积

混合积反映几何上的平行六面体体积。运算结果是一个数量。算式和核心性质如下

$$
\begin{align*}
[\vec{a} \ \vec{b} \ \vec{c}] &= (\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c} =
\begin{vmatrix}
a_x & a_y & a_z \
b_x & b_y & b_z \
c_x & c_y & c_z
\end{vmatrix}
\cr \cr
[\vec{a} \ \vec{b} \ \vec{c}] &= [\vec{b} \ \vec{c} \ \vec{a}] = [\vec{c} \ \vec{a} \ \vec{b}]
\end{align*}
$$

平面与直线

如果满足某个方程的所有点 $M$ 都在某个平面（直线）上，而不满足该方程的点都不在这个平面（直线）上，那么这个方程就是“这个平面（直线）的方程“。

平面的表示

点法式方程： 在空间直角坐标系中，使用平面 $\Pi$ 所过的一点 $M_0(x,t,z)$，以及平面的一个法向量（与平面垂直的向量）$\vec{n} = (A,B,C)$ 来表示整个平面。方程为

$$
\Pi: A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0) = 0
$$

已知过平面的不共线三点，求点法式方程：
关键在于求得法向量。三点 $M_1,M_2,M_3$ 可以组成三个向量，其中任意两个向量的向量积就是平面的一个法向量。例如 $\vec{n} = \vec{M_1M_2}\times\vec{M_1M_3}$，此时 $\vec{n}$ 就是所求的法向量。法向量的 $x,y,z$ 分别对应点法式方程的系数 $A,B,C$。

三点式方程： 在空间直角坐标系中，已知不共线三点 $M_1,M_2,M_3$ 过某个平面。要想知道该平面内的任意点 $M$ 所满足的方程，可以根据混合积的性质，得出方程为

$$
\begin{align*}
\Pi: [\vec{M_1M} \ \vec{M_1M_2} \ \vec{M_1M_3}] &= 0 \cr
\Rightarrow
\begin{vmatrix}
x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \
x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \
x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1
\end{vmatrix}
&= 0 \cr \cr
\end{align*}
$$

截距式方程： 在空间直角坐标系中，特别地，当上述已知的三点分别是平面与三个坐标轴的交点 $P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c)$ 时，展开三点式方程，可得方程为

$$
\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c} = 1 \quad (abc \ne 0)
$$

一般式方程： 可以用形如下面方程的三元一次方程来表示任意平面

$$
Ax+By+Cz+D = 0 \quad (A^2+B^2+C^2 \ne 0)
$$

特殊情形：

• 当 $D$ 为零时，平面过原点。
• 当 $A,B,C$ 分别为零时，平面分别与 $x,y,z$ 轴平行。
• 当 $A,B$ 或 $B,C$ 或 $A,C$ 为零时，平面与 $xOy$ 或 $yOz$ 或 $xOz$ 面平行。

点 $(x_0,y_0,z_0)$ 到平面的距离公式：
$$
d = \frac{Ax_0+By_0+Cz_0+D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}
$$

平面之间的关系

已知两个平面的一般式系数：$A_1,B_1,C_1,D_1$ 和 $A_2,B_2,C_2,D_2$。

面面角： 两个平面之间的夹角是它们的法向量的夹角（常为锐角或直角，计算余弦值时注意取绝对值）。

面面垂直： 等价于法向量垂直，也等价于 $A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2 = 0$。

面面平行： 等价于法向量平行，也等价于 $A,B,C$ 对应系数成比例。

面面重合： 等价于 $A,B,C,D$ 对应系数成比例。

直线的表示

一般式方程： 直线可视为两平面的交线，因此可以用两个平面方程来描述一条直线。方程形如

$$
L:
\left{\begin{matrix}
A_1x+B_1y+C_1z = 0 \
A_2x+B_2y+C_2z = 0
\end{matrix}\right.
$$

注意：
同一直线的一般式方程不唯一。

对称式（点向式）方程： 利用过直线的一个已知点 $M(x_0,y_0,z_0)$ 和直线的一个方向向量 $\vec{s}=(m,n,p)$，可以描述直线上动点 $M(x,y,z)$ 的轨迹。方程为

$$
L: \frac{x-x_0}{m} = \frac{y-y_0}{n} = \frac{z-z_0}{p}
$$

注意：
允许上式中的部分分母为零，此时对应的分子也理解为零。

已知一般式方程，求点向式方程：
核心是找到直线的方向向量。将一般式方程中的两个平面的法向量做向量积，即可得到直线的方向向量。此时找到满足一般式方程的一组 $(x_0,y_0,z_0)$ 即可求得点向式方程。

参数式方程： 令点向式方程的各比值等于 $t$，得到方程

$$
L:
\left{\begin{matrix}
x = x_0+mt \
y = y_0+nt \
z = z_0+pt
\end{matrix}\right.
$$

直线之间的关系

已知两个直线的方向向量：$\vec{s_1} = (m_1,n_1,p_1),\vec{s_2} = (m_2,n_2,p_2)$。

线线角： 两个直线之间的夹角是它们的方向向量之间的夹角（常为锐角或直角，计算余弦值时注意取绝对值）。

线线垂直： 等价于方向向量垂直，也等价于 $m_1m_2+n_1n_2+p_1p_2 = 0$。

线线平行： 等价于方向向量平行，也等价于 $m,n,p$ 对应系数成比例。

平面与直线的关系

线面角： 直线的方向向量 $\vec{s}$ 与平面的法向量 $\vec{n}$ 的夹角的余角 $\phi$。计算时利用 $\sin\phi = \cos\widehat{(\vec{s},\vec{n})}$ 即可。

平面束： 平面束描述了过某一定直线的全体平面。一般方程表示为

$$
\mu(A_1x+B_1y+C_1z+D_1)+\lambda(A_2x+B_2y+C_2z+D_2) = 0
$$

其中 $\mu,\lambda$ 不全为零。任意平面前方的系数 $\mu$ 或 $\lambda$ 不为零时，该方程无法表示对应的平面。