高等数学（上）知识框架

极限

极限是无限趋近但是取不到的过程，它是一个“去心”的过程。

函数极限

函数极限的六种形式：，，，，，。注意，当我们说趋近于或趋近于时，是包括了正负两个趋近方向的。

求极限：，，，。

以上极限均不存在，因为正负方向趋近的极限不同。

函数极限不存在的情形：

极限值是无穷大；
左右极限不同；
振荡，如。

函数极限的性质：

唯一性，极限存在则其值确定；
局部有界，极限存在则函数在该点的某一邻域有界；
局部保号，如可以推得在的某一邻域是恒正的。

无穷小

无穷小是极限为的变量，具有如下性质：

有界量无穷小无穷小，如其中的为无穷小部分，为有界振荡的部分，于是整个极限是无穷小；
“和取低阶”，如忽略了高阶项；
，。

通过作比值进行比较，无穷小之间存在等价、同阶、高阶和低阶四种关系。

常见等价无穷小

函数极限的计算

非未定式

直接代入。

求极限：

型未定式

首先考虑化简：

提前求极限不为的因子；
提前拆出极限存在的部分；
等价无穷小代换（只能用于乘除因子）；
换元。

等价无穷小代换不允许使用和差替换的原因是，可能改变了无穷小的阶数。

最后考虑高级方法：

洛必达；
泰勒展开。

型未定式

a. “抓大头”：

保留高幂次；
指数-幂-指数函数关系链，即当时有。

b. 洛必达。

型未定式

“下放”；等价无穷小代换。

型未定式

a. 两个分式相减，则通分。

求极限：

判断为型未定式。通分得到，随后将分子分母都使用等价无穷小代换，整理得到。当然，通分后也可以选择连用两次洛必达来解决。

b. 缺少分母，则倒代换（令）。

求极限：

观察发现没有分母，则人为创造分母。令，原式变成，通分得到，随后将分子使用等价无穷小代换，整理得到。

c. 有公因子，则提公因子。

求极限：

提取更高次数的作为公因子。原式变成，随后将括号内的式子使用等价无穷小代换，整理得到。

型未定式

a. 构造出重要极限。

求极限：

根据括号内第二项，原式可变形为，利用重要极限得到。处理指数得到，于是原式等于。

b. 使用口诀“ 的往里走，指函数抄一遍再乘底 ”。

求极限：

判断为型未定式，决定使用口诀。的往里走，得到。指函数抄一遍再乘底，得到。计算，于是原式等于。

数列极限的计算

数列极限只需要将变量当作函数极限的来算即可，但是有以下区别：

在数列语境下，提及时，默认指的是。
数列极限允许使用四则运算法则和等价无穷小代换来计算，但是不可以使用洛必达（因为数列是不连续的）。

特别地，数列极限涉及以下考点。

a. 转化为定积分定义求解（提，凑，写积分）。

求极限：

怀疑是定积分定义的考点。式子使用累加器整理得到。强行提取（做分割），得到。将视作进行积分（近似、求和、取极限），得到。

b. 递推数列的单调有界准则（即单调增加/减少且有上界/下界的数列必定存在极限）。

已知，，求：

既见递推式，判断是单调有界准则的考点，可以分三步走解决。

先证明单调性（做差/做商/求导/归纳），这里使用求导法，设易证，数列单调增加。

再证明有界（不等式放缩/归纳/转化成函数有界），这里使用放缩法，易证，即存在上界为。

至此已确定极限存在，设极限为。最后，将递推公式左右两侧的都使用代换，得到，解方程得到。

c. * ~~递推数列的压缩映射原理~~。

d. * 夹逼准则。

设是非负数中的较大者，证明二级结论：

放缩得到，又因为，而右侧，根据夹逼准则，原式也为，证毕。

连续

函数在某点连续的充要条件是，在处有定义且此处的左极限和右极限存在且相等于函数值，即。

函数在某点间断的充要条件是，在的去心邻域内有定义（说明不是端点）且不满足“连续”的条件。

因此，以下两种类型的点可能成为间断点，被称为可疑点：

在处无定义的点；
函数表达式的分段点。

间断点的类型

间断点主要分为两种类型。

第一类间断点（左右极限存在）：
1. 跳跃间断点（而左右极限不相等）；
2. 可去间断点（而左右极限相等）。
第二类间断点（左右极限至少有一个不存在）：
1. 无穷间断点（有一侧的极限是无穷大）；
2. 振荡间断点（由振荡导致极限不存在）。

闭区间连续函数的性质

函数在闭区间处处连续，则成为一个闭区间连续函数。下面讨论的都是闭区间连续函数。

最值定理

一定有最大值和最小值。

有界定理

一定有界。推广到开区间连续函数，只需额外确保端点处有界即可。

介值定理

设在内的最小值为，最大值为，则对于满足的任意，一定存在，使得。

设在上连续且满足，证明至少存在一点，使得：

此类题的关键是将目标值（本题是）“放到”最大值和最小值之间。设在区间内的最小值为，最大值为，则有，即，符合介值定理的条件，证毕。

零点定理

在端点处的值异号，即时，则存在，使得。

导数与微分

导数的定义式

导数的本质是变化率，几何意义是切线斜率（或者说法线斜率的负倒数）。

导数定义式的特征：

上下一致，即无穷小量在分子和分母的写法是一致的；
定点出现，即分子上出现项，这个值是固定的；
双侧极限，即无穷小量是从正负两个方向趋近于的。

已知，求：

观察可知，此式子与的导数定义式有关，则可写出该处的导数定义式为。不妨把看作，于是所求式子等于。

已知存在，判断在处是否一定可导：

由于分子是两个变量相减，不满足“定点出现”的规则，因此不构成导数定义式。可以举出反例函数。此题的答案为否。

函数在一点处可导的充要条件是，左导数和右导数存在且相等。

求导方法

可能陌生的求导公式和法则：

反函数求导

取倒数。

已知，求：

取倒数，得到。又由于，所以 $\frac{\text d x}{\text d y}|{y=1}=\frac{1}{e^x+2}|{x=0}=\frac{1}{3}$。

隐函数求导

等号两端同时求导，提取的公因式。

复合函数求导

链式法则。

参数方程求导

分段函数求导

各分段区间用公式求导，分段点处使用定义（也可能该处导数不存在）。

高阶导数

以下公式可以现场归纳，也可以背下来：

莱布尼兹公式：

微分

在处，增量，其中被称为线性主部，也就是微分，记作。计算方法是，所以求微分本质上就是求导。

微分中值定理

费马引理

在可导点处取到极值时，则。

罗尔定理

满足“闭区间连续，开区间可导”的条件，且端点值相等时，则开区间存在一点使得。

解决罗尔定理相关题目的关键是找到合适的辅助函数来满足题设条件的“导数为零”。

拉格朗日中值定理

满足“闭区间连续，开区间可导”的条件（端点值无需相等），则开区间存在一点使得

等式成立。

柯西中值定理

和满足“闭区间连续，开区间可导”的条件，则开区间存在一点使得

等式成立，其中。

洛必达法则

略。

泰勒中值定理

带皮亚诺余项

写带皮亚诺余项的阶泰勒展开式，只需展开到阶，然后追加一个阶无穷小。

带拉格朗日余项

写带拉格朗日余项的阶泰勒展开式时，需要展开到阶。

常见泰勒展开式

以下是泰勒公式在时的特殊情况，也被称为麦克劳林公式。

~~上下同阶原则，幂次取低原则。~~

扩展应用

用泰勒公式求解某点处的高阶导数。

用泰勒公式的证明题。

几何性质

单调性

利用单调性证明不等式；研究方程的根/零点/交点的个数。

极值与最值

极值的一个充分条件是在处连续且在两侧异号。

极值的另一个充分条件是且，具体而言代表极小值而代表极大值。

最值需要考虑开区间内的所有的点和不可导的点，如果是闭区间的最值的话，还需要考虑端点值。

凹凸性

对于定义域为的连续函数上的任意两个不同点，定义，。如果则函数曲线是（向下）凹的，如果则是（向上）凸的。

上述定义是建立在“弧和弦的位置关系”上的。除此之外，凹凸性还可以使用“弧和切线的位置关系”来定义。

利用导数判断凹凸性：

整个区间上单调递增则为凹，单调递减则为凸；
整个区间上则为凹，则为凸。

拐点

拐点是连续曲线上凹凸性的分界点。

拐点的一个充分条件是在处连续且在两侧异号。

拐点的另一个充分条件是且。

可以发现，极值点和拐点存在一定相似性，且二者互斥，因此有推论：如果连续函数某点处的前阶导数都是，但是第阶导数首次不为，此时如果是偶数，该点就是极值点，否则是奇数，该点就是拐点。

渐近线

渐近线分为以下三种：

垂直渐近线：若处（尤其是考虑无定义点）的单侧极限或，则为垂直渐近线；
水平渐近线：若或，则为水平渐近线；
斜渐近线：若且存在，或且存在，则为斜渐近线。

此外，如果正负无穷两个方向都有水平渐近线，那么斜渐近线就不用考虑了。求斜渐近线时，一种快速方法是尝试将变形为的形式，其中是相对于的高阶无穷小。

求的渐近线：

垂直渐近线：为垂直渐近线；

水平渐近线：负方向，即为水平渐近线，但是正负向没有水平渐近线（此时怀疑有斜渐近线）；

斜渐近线：发现，于是将函数变形为。易证是时的无穷小量，于是斜渐近线为。

曲率

曲率公式：

直角坐标系情形

参数方程情形

曲率半径公式：

曲率半径是曲率的倒数，即。

* 曲率圆中心位置公式：