各类积分的概念与计算

定积分

定积分的定义

为了求直角坐标系中非负连续曲线与竖直线和轴围成的曲边梯形的面积，提出定积分（Definite Integral）的概念。

定积分的求取步骤如下：

取点分割：用任意一组分点，将区间分成个小区间，也将曲边梯形分成了个小曲边梯形。用表示第个小曲边梯形的面积，则大曲边梯形的面积。
近似求和：在每个小区间内任取一点，用高为，宽为的小矩形的面积来近似代替第个小曲边梯形的面积，即，那么。
取极限：记最大的区间长度，则当时，。需要注意，取极限这一步的操作并不是而是。

如果不管区间如何分法，也不管如何取法，当时，和式总有共同的极限，则称为函数在上的定积分，记作：

其中，是积分记号，是积分下限，是积分上限，是积分变量。

提示：

非正连续函数所形成的曲边梯形的面积为负值。

定积分是一个数。定积分的“定”指的是确定的、不会改变的。

定积分的积分值只与函数和区间有关，与积分变量的记法无关。

定积分的存在性

若函数在区间上的定积分存在，则称在上可积。

关于定积分的存在性问题，主要有以下两个判据：

在上连续。
在上有界，且只有有限个间断点。

在上述两种情况下，定积分是存在的。

对被积函数变动有限个点的值，可积性不变，积分值不变。也就是说，给定两个函数，在有限个点处具有不同的函数值，如果其中一个函数可积，那么另一个函数也可积，且积分值相等。

定积分的性质

对于定积分作出如下规定：

当积分上下限重合，即时，积分值为。
当积分下限比上限大，即时，积分值等同于上下限互换后的结果。

性质1（积分上下限互换）：

性质2（被积函数为常函数）：

性质3（被积函数的数乘）：

性质4（被积函数的加减法）：

性质5（积分区间的拆分）：

提示：
不需要保证拆分点。点在积分区间外时该性质也成立。

性质6（积分值的保号性）：

设则

$$
f(x)|{x \in [a, b]} \geq g(x)|{x \in [a, b]} \Rightarrow \int_a^b f(x) \text d x \geq \int_a^b g(x) \text d x
$$

性质7（积分值的估计）：

设，被积函数局部最大值，局部最小值，则

性质8（积分中值定理）：

若在上连续，则至少存在一点使得

提示：

积分中值定理的几何解释是，在内至少存在一个点，使得在内形成的曲边梯形的面积等于底边相同而高为的矩形的面积。

可以把视作在上的平均值。

定积分小妙招

对称区间积分：偶倍奇零；
对称区间积分推广：不管奇偶性，；
周期函数积分：一个周期的积分，可以改起点；
高次正余弦定积分：的或的次幂，可以使用华理士公式（点火公式）；
。

不定积分

不定积分的概念

在某个区间上的原函数全体称为在该区间上的不定积分。

若原函数的导数，则

其中就是其中一个原函数。连续函数一定有原函数（只是容不容易求得的问题了）。

注意：
积分常数不能少！原函数不仅有一个！

类似定积分，不定积分满足数乘和加减法规律。此外，还有一条额外性质——积分记号和微分记号是可以抵消的，例如：

由于积分运算和微分运算是互逆的，因此可以从求导公式得出积分公式。由此得到了一些标准积分公式，组成基本积分表。参见 标准积分公式整理。

换元积分法

换元积分法的关键是利用复合函数、设置中间变量，尽可能地将所求的积分表达式转化为容易求积分的表达式。

以下示例演示了换元积分法的基本原理：
求的积分时，发现不是一个标准积分。
不妨设从而有。故，此时是标准积分，容易求得。
由此求得积分结果为，最后将还原得。

在“凑微分”的过程中，观察重点不同，所得结论不同。常见的换元方式如下：

一次型
多项式型
三角函数型（举一例）
指数函数型
对数函数型

显然，掌握换元积分法的关键是熟悉各类函数的导数，并且有一定的经验积累。

注意：

若是使用换元积分法求解定积分，则需记住换元必换限，即换元后需要重新计算积分上下限的值。

有时由于换元导致的定义域和值域变动，可能需要分区间处理。例如求解定积分时，如果使用换元变成则会计算出错误的结果。这是因为没有考虑为负的情况，此时需要根据在不同区间的具体取值来分段求解。

第二类换元积分法

三角换元：可以使得
三角换元：可以使得
三角换元：可以使得
根式换元 $：可以使得$ x=\frac{1}{a}(t^n-b)$
倒代换适用于分母最高次数高于分子的情形：可以使得

三角换元必要时绘制辅助三角形。

分部积分法

让何种函数作为置于的前面呢？有个活泼型规则叫做“反对幂指三”，即反三角>对数>幂>指数>三角，当这五种函数中的两种函数同时出现在一个积分式子中，则很可能要使用分部积分法，并且排名越靠前的函数越应该放在的前面。

在连续使用分部积分法时，需要注意“始终如一”原则。同时，对于指数函数乘以三角函数或者幂函数，使用表格法可以更加快速和程序化地进行连续分部积分。

* 指数函数乘以三角函数有固定公式。

有理函数积分

一般有理分式

拆最简有理分式之和。

……

三角函数有理分式

万能代换得到：

此法主要适用于的次数较低的情况。

连续分段函数的积分

变限积分

反常积分

反常积分，又称广义积分或非正常积分，是指那些积分区间是无穷限，或者在积分区间内被积函数无界的积分。

由于积分区间的端点是无穷大，或者被积函数在瑕点趋于无穷大，因此传统的定积分定义无法直接使用，需要通过极限的方式重新加以定义。可以说，反常积分的核心在于通过极限方法来定义和判断其是否收敛。

无穷限反常积分

如果积分的区间是无穷大的，如或，我们就称这种积分为无穷限反常积分。由于积分是无穷限，因此需要使用极限来定义它。

单侧无穷限的情形

对于上限为正无穷的反常积分：

如果上述极限存在，则该反常积分收敛且积分结果等于极限值，否则该反常积分发散。

对于下限为负无穷的反常积分，也有类似结论。

有些积分经过变形可以转化为的形式，此时：

当时，收敛；

当时，发散。

双侧无穷限的情形

对于上下限都是无穷大的反常积分，用区间内的任意常数做拆分：

等式右侧的两个极限必须都存在，该反常积分才收敛，否则发散。

此外，若等式右侧出现的形式，这并非是未定式，而是表明该反常积分发散。

无界函数反常积分

如果积分区间内或者端点处，被积函数存在无穷大的点，我们就称该点为瑕点，又称奇异点。这种积分为无界函数反常积分，又称瑕积分，同样需要使用极限来定义它。

端点处无界的情形

对于定义在区间内的，如果点的右邻域无界，则取，那么该函数在的反常积分可以定义为：

同样地，该反常积分收敛也要求极限存在。

对于定义在内的，如果点的左邻域无界，也有类似结论。

有些积分经过变形可以转化为的形式，此时：

当时，收敛；

当时，发散。

区间内无界的情形

对于在区间内除了点外连续的，如果在点的邻域无界，那么该函数在的反常积分可以定义为：

同样地，该反常积分收敛也要求等号右侧的两个极限都存在。

反常积分的审敛法

……