常数项级数

前置知识

无穷级数

给定一个无限数列并将各项依次相加，得到的和式被称为无穷级数（简称级数）。

其中被称为级数的通项（又称一般项）。通俗地讲，无穷级数就是无限个数字相加所得的和式。

无穷级数分为常数项级数和函数项级数两种类型：

常数项级数是由无限个确定的数字（常数）相加得到的无穷级数。
函数项级数是由无限个定义在某个区间上的函数相加得到的无穷级数。

本文介绍的是第一种类型。

敛散性

研究无穷级数的性质，主要是研究它的敛散性。

如果级数的前项和（部分和）在时的极限存在，则称级数收敛且为级数的和，否则级数发散。也就是说，级数的敛散性问题就是判断部分和数列的极限的问题。

正项级数

各项均非负的级数被称为正项级数，它的部分和数列是单调增加的数列。

正项级数收敛有界；
正项级数发散。

比较审敛法

（常规表述） 给定两个正项级数和，且后者的每一项都不大于前者，即，那么

若“大级数” 收敛，则“小级数” 也收敛；
若“小级数” 发散，则“大级数” 也发散。

二级结论：
以下是常用的用于比较的级数：

级数：通项是的级数，仅当（注意是严格大于）的时候才收敛。

调和级数：级数在时的特殊情况，它是发散的。

（极限表述） 给定两个正项级数和，定义比值，那么

若，则“分母级数” 收敛，“分子级数” 也收敛；
若，则“分母级数” 发散，“分子级数” 也发散；
否则（时），两者具有相同的敛散性。

推论：
分子和分母都是关于的多项式/幂函数时，若分母比分子的最高次大则级数收敛。

比值审敛法（达朗贝尔判别法）

对于正项级数的前后两项，作比值并取极限：

时，级数收敛；
时，级数发散；
时，此审敛法失效。

根值审敛法（柯西判别法）

对于正项级数的通项，作次方根并取极限：

时，级数收敛；
时，级数发散；
时，此审敛法失效。

区别与联系：
比值审敛法和根值审敛法在关于的大小判定方面是一致的。当级数通项含有阶乘项、连乘积/商时，优先考虑比值；当级数通项含有次幂因子时，优先考虑根值。

交错级数

各项符号正负相间的级数，形如

被称为交错级数。

交错级数测试（莱布尼兹判别法）

若交错级数满足下述条件（其中指的是不带符号的通项）：

单调递减，即；
趋近于，即。

则交错级数收敛，且其和，余项。

任意项级数

各项的正负性没有限制的级数被称为任意项级数。

绝对收敛

任意项级数取绝对值后，若收敛，则原级数绝对收敛。

绝对收敛的级数一定收敛。于是可以“将任意项级数变成正项级数”，从而判断原级数是否收敛。

条件收敛

任意项级数已知收敛，但是取绝对值后的级数发散（绝对发散），则原级数条件收敛。

复数项级数

各项属于复数集的级数，形如

被称为复数项级数。

复数项级数的收敛条件是和同时收敛，其和为。

复数项级数的绝对收敛的判别是收敛。

重要复数公式

欧拉公式：

‌棣莫弗公式：