函数项级数

前置知识

收敛域

给定一个定义于上的函数项级数，将代入其中，得到一个常数项级数。

如果收敛，则称为对应的函数项级数的收敛点，否则称为发散点。函数项级数的所有收敛点的全体称为收敛域，所有发散点的全体称为发散域。

和函数

在收敛域上，函数项级数的和是的函数，称为和函数。

函数项级数的前项和（部分和）记作，则，余项且有。

幂级数

形如

的级数称为幂级数。其中是系数，是收敛中心。特别地，当时，形为。

阿贝尔定理

对于幂级数，若在处收敛，则对于任何满足的都是收敛点；反之，若在处发散，则对于任何满足的都是发散点。

收敛半径

对于幂级数可以定义收敛半径 ：

当时，幂级数（绝对）收敛；
当时，幂级数发散；
当时，幂级数可能收敛也可能发散。

规定，若幂级数仅在处收敛，则；若幂级数在上收敛，则。

提示：
求出收敛半径之后，需要考虑的端点处是否收敛，才能确定收敛域的开闭。但是，如果，则无需考虑端点，因为收敛域必定是开区间。

对幂级数中的系数取绝对值，然后让前后两项作比值（或者作次方根），再取极限，可得

对于有以下结论：

当时，收敛半径；
当时，收敛半径；
当时，收敛半径。

解法：
求解收敛域一般可以通过两种方法：

针对系数求出的值，再通过得到收敛半径，从而写出的范围，再判断端点处情况即可。

针对整个通项，做类似的操作，求比值或根值极限，记作（此时是含有的表达式），令来解出的范围，再判断端点处情况即可。

此外，如果幂级数的底数不是，则表明收敛中心发生偏移。例如通项为的级数的收敛中心是。

运算性质

设和的收敛半径分别是和。规定，联合收敛半径。以下运算性质均建立在的前提下。

加减法：

乘法：

其中是柯西乘积系数，，如下表所示，可以通过对角连线的方式来快速写出。

除法：

其中。

提示：
两个幂级数相除所得的新的幂级数，其收敛半径可能比原来两个幂级数的收敛半径小得多。

和函数：

对于幂级数，若其收敛半径，则其和函数在收敛域上连续，且在内有任意阶导数，可以逐项求导与逐项求积分。

提示：
运算前后收敛半径相同，但收敛域尤其在端点处可能改变。

这说明积分号和求和号可以改变嵌套的顺序，进而简化和函数的求解过程。

泰勒级数

泰勒级数是对指定函数的展开和近似逼近。

相关概念：
若函数在的邻域内具有直到阶导数，则在该邻域有。是拉格朗日余项。其中

若函数在的邻域内具有任意阶导数，则称

为的泰勒级数。特别地，当从处展开时，称其为麦克劳林级数。

存在性

在的邻域内具有任意阶导数的函数能够展开成泰勒级数的充要条件是：的泰勒公式中的余项趋于零，即满足

此外，对进行展开时，展开式是唯一的。

直接展开法

通过求解各阶导数，可以将一个函数进行展开。这里以麦克劳林级数展开为例。

求出函数及其各阶导数在处的值；
写出麦克劳林级数，并求出收敛半径；
判断在内，余项是否趋于零；
验证端点处的敛散性。

间接展开法

通过变量代换、四则运算、恒等变形、逐项求导或积分等方法，间接地求函数的展开式。

变量代换：
例如使用中间变量，可以通过的展开式来求得的展开式。
逐项求导：
例如在已知的展开式的情况下，可以给它的每一项求导，从而得到的展开式。
逐项积分：
例如为了求解的展开式，可以利用这个导数关系，得到这个积分关系，然后将转换为已知的等比级数求和。

提示：
逐项求导或积分后，收敛域尤其在端点处可能改变。

二级结论：
牛顿二项式展开式：在的展开式是

在处的敛散性与有关。

三角级数

形如

的级数称为三角级数。其中是余弦系数，是正弦系数。显然，三角级数是周期函数，其周期为。

正交性

组成三角级数的函数系

在上是正交的，即其中任意两个不同函数之积在（整个周期）上的积分等于。这可以通过积化和差来证明。

提示：

注意正交性只对不同函数成立。对于相同函数之积，它们的积分不恒等于。例如：

虽然和的三角函数同名，但是在的时候也是属于两个不同的函数。

傅里叶级数

傅里叶级数是三角级数，它是对周期函数的展开，使得可以被表示为正弦和余弦函数的和的形式。

展开法

为了将周期函数 展开成的形式，主要的任务是确定傅里叶系数 的具体值。

如果该函数在一个周期上可积（假设周期为），则傅里叶系数可以求出，下面展示推导过程。

求常数系数：

提示：
其实常数系数就是余弦系数在时的特殊情况。

求余弦系数：

求正弦系数：

求得傅里叶系数后，不难发现的奇偶性与傅里叶系数之间存在如下关系：

当为奇函数时，余弦系数全为，此时的傅里叶级数是正弦级数；
当为偶函数时，正弦系数全为，此时的傅里叶级数是余弦级数；

展开定理

为了确定周期为的函数是否能够进行傅里叶展开，我们需要确定它的傅里叶级数是否收敛。

当满足狄利克雷条件时，它的傅里叶级数是收敛的，具体而言：

在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点；
在一个周期内只有有限个极值点。

提示：
这说明，函数展开成傅里叶级数的条件限制，相较于展开成幂级数的要低得多。

并且有

当为连续点时，该点的傅里叶级数的值就是本身；
当为间断点时，该点的傅里叶级数的值等于正负方向的均值，即。

广义展开法

为了将满足狄利克雷条件的非周期函数 也通过傅里叶级数展开，我们可以通过周期延拓的方法来操作。

所谓周期延拓，就是把原本不成周期的函数图像进行一些变换，得到周期性的函数图像。