线性代数基础

本文整理了线性代数中的基本概念和重要公式。

矩阵

矩阵的逆

可逆的充要条件是。

行列式

常用性质

矩阵转置后，行列式的值不变，即。
矩阵乘积的行列式等于它们行列式的乘积，即。

初等变换

性质

将行列式任意两行（或列）交换，行列式的值变号。
将行列式的某一行（或列）数乘倍，行列式的值也同样被数乘倍。
将行列式的某一行（或列）叠加到另一行（或列），行列式的值不变。

推论

若中存在两行（或列）相同，则。
若中存在两行（或列）成比例，则。
若中存在全部为零的行（或列），则。

行列式展开

克莱姆法则

伴随矩阵

推论：

$$
A^{-1} = \frac{A^}{|A|} \
|A^| = |A|^{n-1}
$$

秩

对应丘维声课程：034，035，036，037

“秩是多么深刻啊！”

矩阵的秩

由于：

定理 1： 矩阵如果是阶梯形矩阵，则满足列秩行秩矩阵的非零行个数，并且的主元所在列共同构成的一个极大线性无关组。

定理 2： 矩阵的初等行（或列）变换不改变矩阵的行秩。

定理 3： 矩阵的初等行（或列）变换不改变列向量组的线性相关性，从而不改变矩阵的列秩。

从而：

定理 4： 任意矩阵的行秩列秩。
定义 1： 矩阵的行秩和列秩统称为矩阵的秩，记作，简写为。

因此：

推论 1（阶梯化的一致性）： 矩阵的秩等于该矩阵经过初等行变换得到的阶梯形矩阵的非零行个数，并且如果的主元在第列，则的第共同构成的一个极大线性无关组。
推论 2（转置的一致性）： 矩阵的秩等于它的转置矩阵的秩，即。

矩阵的秩与子式的关系

对于非零矩阵，设的秩：

定理 5： 矩阵的秩等于的非零子式的最高阶数。反过来，则的凡是阶数大于的子式都为零。
推论 3： 矩阵的阶子式所在的行（或列）共同构成的行（或列）向量组的一个极大线性无关组。

矩阵的满秩

对于级方阵：

定义 2： 如果方阵的秩等于，则称满秩。
推论 4： 方阵满秩的充要条件是。

线性方程组的解

对应丘维声课程：037，038，039，040

解的判别

对于数域上的元线性方程组：

定理 1： 线性方程组有解的充要条件是，该方程组的增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩。

有解时：

当时，有唯一解。
当时，有无穷多个解。
推论： 如果线性方程组是齐次地，则有非零解就必然有无穷多个解。反过来，有唯一解就必然只有零解。

解的结构

齐次线性方程组

对于数域上的元齐次线性方程组 ，记其解集为。

性质 1： 是的一个子空间。
定义 1： 称为的一个解空间。
定理 2： 有非零解（无穷多个解）时，满足。设，则的一组基可以是该方程组的特解，此时。
定义 2： 称的一组基为的一个基础解系。
定理 3： 齐次线性方程组的全部解是的线性组合，即，其中。

非齐次线性方程组

对于数域上的元非齐次线性方程组 ，其中，记其解集为。考虑其相应的齐次线性方程组，记其解集为。

由于：

性质 2： 如果，则，即。

性质 3： 如果，则，即。

从而：

性质 4： 如果特解，则。

因此：

定理 4： 非齐次线性方程组的解集为，其中是该方程组的一个特解，而是相应的齐次线性方程组的基础解系。