高等数学（下）知识框架

空间解析几何

向量

概念

定义： 既有大小又有方向的量。可以用有向线段 $\vec{M_1M_2}$、带箭头字母 $\vec{a}$、粗体字母 $\mathbb{a}$ 来表示。

向量的模： 向量的大小，记作 $|\vec{M_1M_2}|$ 或 $|\vec{a}|$ 或 $|\mathbb{a}|$。

向径（矢径）： 起点为原点的向量。

自由向量： 与起点无关的向量（即只考虑大小和方向的向量）。

单位向量： 模为 $1$ 的向量。

零向量： 模为 $0$ 的向量，记作 $\vec{0}$ 或 $\mathbb{0}$（与任何向量平行）。

基本关系

相等： 大小和方向都相同，记作 $\vec{a} = \vec{b}$。

负向量： 大小相同但方向相反，记作 $-\vec{a}$。

平行（共线）： 方向相同或相反，记作 $\vec{a} \parallel \vec{b}$。

共面： $k \ (\ge 3)$ 个向量经平移可移动到同一平面上。

线性运算

加法： 平行四边形法则或三角形法则。满足交换律和结合律。

减法： $\vec{b}-\vec{a} = \vec{b}+(-\vec{a})$，口诀“首首相连，方向指被减”。

向量的三角不等式：
$|\vec{a}\pm\vec{b}| \le |\vec{a}|+|\vec{b}|$

数乘： 满足结合律和分配律，且有模关系 $|\lambda\vec{a}| = |\lambda||\vec{a}|$。

单位向量计算方法：
$|\vec{e_{\vec{a}}}| = \frac{1}{|\vec{a}|} \vec{a}$

平行

定理： $\vec{b} \parallel \vec{a} \Leftrightarrow \vec{b} = \lambda\vec{a}$，其中 $\vec{a}$ 为非零向量，$\lambda$ 为唯一实数。

夹角

定义： 有非零向量 $\vec{a},\vec{b}$，任取空间一点 $O$，作 $\vec{OA} = \vec{a},\vec{OB} = \vec{b}$，规定属于 $[0,\pi]$ 的角 $\angle AOB$ 为两个向量的夹角，记作 $\widehat{(\vec{a},\vec{b})}$ 或 $\widehat{(\vec{b},\vec{a})}$。

注意：
特别地，如果两个向量中存在一个零向量，那么夹角可以取得 $[0,\pi]$ 中的任何值。

投影

定义： 设向量 $\vec{AB}$ 的起点和终点在投影轴 $u$ 上的投影点分别是 $A’$ 和 $B’$，则 $\vec{A’B’}$ 是该向量的投影向量（或称在 $u$ 轴上的分向量）。此时 $|\vec{A’B’}|$ 称为该向量在 $u$ 轴上的投影，记作 $\text{Prj}_u \vec{AB} = \vec{A’B’}$。

注意：
投影是一个数量，投影向量是一个向量。
向量的平移不改变它在指定轴上的投影。

性质 1： （投影定理）投影等于模乘以轴夹角 $\phi$ 的余弦，即

$$
\text{Prj}_u \vec{AB} = |\vec{AB}| \cos \phi
$$

性质 2： 向量的加法和投影运算的先后顺序可以交换。

性质 3： 向量的数乘和投影运算的先后顺序可以交互。

向量坐标

空间直角坐标

坐标系： 过空间一定点 $O$，由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系（坐标轴 3 个、坐标面 3 个、卦限 8 个）。

点坐标： 点 $M$、有序数组 $(x,y,z)$、向径 $\vec{r}$ 可以形成一一对应关系，此时 $(x,y,z)$ 称为点 $M$ 在空间直角坐标系上的坐标。

向量坐标： 在空间直角坐标系下，任意向量 $\vec{r}$ 可用向径 $\vec{OM}$ 表示。以 $\hat{i},\hat{j},\hat{k}$ 分别表示 $x,y,z$ 轴上的单位向量，设点 $M(x,y,z)$，则 $\vec{r} = x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k} = (x,y,z)$ 称为该向量的坐标表达式，此时 $(x,y,z)$ 称为该向量的坐标。

向量坐标与向量运算： 向量之间的线性运算可以转化为坐标分量 $x,y,z$ 之间的线性运算。

向量坐标与向量平行： 平行向量的对应坐标成比例，即

$$
\begin{align*}
\vec{b} \parallel \vec{a} &\Leftrightarrow \vec{b} = \lambda\vec{a} \cr
&\Leftrightarrow \frac{b_x}{a_x} = \frac{b_y}{a_y} = \frac{b_z}{a_z}
\end{align*}
$$

注意：
上述连等式中，三个分母 $a_x,a_y,a_z$ 不全为零即可，并不需要全部非零。如果有分母为零的情况出现，则理解为该分式的分子也需要为零。

两点间距离

两点间距离公式： 任意维空间的两点 $M_1,M_2$ 间的距离（即向量 $\vec{M_1M_2}$ 的模），是各正交轴坐标的差值的平方和的平方根，在三维空间中

$$
d = |\vec{M_1M_2}| = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}
$$

定比分点公式： 在 $AB$ 上有一点 $M$ 使得 $\vec{AM} = \lambda\vec{MB}$，求 $M$ 的坐标的要点在于使用向径和坐标分解。过程如下

$$
\begin{align*}
\vec{AM} &= \vec{OM}-\vec{OA} \cr
\vec{MB} &= \vec{OB}-\vec{OM} \cr
\Rightarrow& \ \vec{AM} = \lambda\vec{MB} = \vec{OM}-\vec{OA} = \lambda(\vec{OB}-\vec{OM}) \cr
\Rightarrow& \ \vec{OM} = \frac{1}{1+\lambda} (\vec{OA}+\lambda\vec{OB}) \cr
\Rightarrow& \ (x,y,z) = \frac{1}{1+\lambda} (x_1+\lambda x_2,y_1+\lambda y_2,z_1+\lambda z_2)
\end{align*}
$$

中点公式： 当 $\lambda = 1$ 时的定比分点公式即为中点公式（分母为 $2$）。

方向余弦

定义： 非零向量 $\vec{a} = (x,y,z)$ 与各个坐标轴的夹角称为方向角（与 $x,y,z$ 轴的夹角分别记作 $\alpha,\beta,\gamma$）。方向角的余弦值简称方向余弦。

性质 1： 方向余弦与坐标分量有如下关系

$$
\begin{align*}
\cos\alpha &= \frac{x}{|\vec{a}|} = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \cr
\cos\beta &= \frac{y}{|\vec{a}|} = \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \cr
\cos\gamma &= \frac{z}{|\vec{a}|} = \frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}
\end{align*}
$$

性质 2： 各个方向余弦的平方和为 $1$，即 $\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma = 1$。

性质 3： 可以用方向余弦来表示与某向量同方向的单位向量，即 $\vec{e_{\vec{a}}} = (\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$。

向量乘积

数量积

数量积又称点积或内积。 数量级反映加权投影。运算结果是一个数。满足交换律、结合律和分配律。算式和核心性质如下

$$
\begin{align*}
\vec{a}\cdot\vec{b} &= |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\theta \cr
&= |\vec{a}| \text{Prj}_a \vec{b} = |\vec{b}| \text{Prj}_b \vec{a} \cr
&= a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z \cr \cr
\vec{a}\cdot\vec{b} &= 0 \Leftrightarrow \vec{a}\perp\vec{b} \cr \cr
\cos\theta &= \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z}{\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}\sqrt{b_x^2+b_y^2+b_z^2}}
\end{align*}
$$

向量积

向量积又称叉积或外积。 向量积反映几何上的平行四边形面积。运算结果是一个向量。满足反交换律、结合律和分配律。算式和核心性质如下

$$
\begin{align*}
\vec{c} = \vec{a}\times\vec{b} &=
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \cr
a_x & a_y & a_z \cr
b_x & b_y & b_z
\end{vmatrix}
\cr \cr
\vec{a}\times\vec{b} &= \vec{0} \Leftrightarrow \vec{a}\parallel\vec{b}
\end{align*}
$$

混合积

混合积反映几何上的平行六面体体积。运算结果是一个数量。算式和核心性质如下

$$
\begin{align*}
[\vec{a} \ \vec{b} \ \vec{c}] &= (\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c} =
\begin{vmatrix}
a_x & a_y & a_z \cr
b_x & b_y & b_z \cr
c_x & c_y & c_z
\end{vmatrix}
\cr \cr
[\vec{a} \ \vec{b} \ \vec{c}] &= [\vec{b} \ \vec{c} \ \vec{a}] = [\vec{c} \ \vec{a} \ \vec{b}]
\end{align*}
$$

平面与直线

如果满足某个方程的所有点 $M$ 都在某个平面（直线）上，而不满足该方程的点都不在这个平面（直线）上，那么这个方程就是“这个平面（直线）的方程“。

平面的表示

点法式方程： 在空间直角坐标系中，使用平面 $\Pi$ 所过的一点 $M_0(x,t,z)$，以及平面的一个法向量（与平面垂直的向量）$\vec{n} = (A,B,C)$ 来表示整个平面。方程为

$$
\Pi: A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0) = 0
$$

已知过平面的不共线三点，求点法式方程：
关键在于求得法向量。三点 $M_1,M_2,M_3$ 可以组成三个向量，其中任意两个向量的向量积就是平面的一个法向量。例如 $\vec{n} = \vec{M_1M_2}\times\vec{M_1M_3}$，此时 $\vec{n}$ 就是所求的法向量。法向量的 $x,y,z$ 分别对应点法式方程的系数 $A,B,C$。

三点式方程： 在空间直角坐标系中，已知不共线三点 $M_1,M_2,M_3$ 过某个平面。要想知道该平面内的任意点 $M$ 所满足的方程，可以根据混合积的性质，得出方程为

$$
\begin{align*}
\Pi: [\vec{M_1M} \ \vec{M_1M_2} \ \vec{M_1M_3}] &= 0 \cr
\Rightarrow
\begin{vmatrix}
x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \cr
x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \cr
x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1
\end{vmatrix}
&= 0 \cr \cr
\end{align*}
$$

截距式方程： 在空间直角坐标系中，特别地，当上述已知的三点分别是平面与三个坐标轴的交点 $P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c)$ 时，展开三点式方程，可得方程为

$$
\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c} = 1 \quad (abc \ne 0)
$$

一般式方程： 可以用形如下面方程的三元一次方程来表示任意平面

$$
Ax+By+Cz+D = 0 \quad (A^2+B^2+C^2 \ne 0)
$$

特殊情形：

• 当 $D$ 为零时，平面过原点。
• 当 $A,B,C$ 分别为零时，平面分别与 $x,y,z$ 轴平行。
• 当 $A,B$ 或 $B,C$ 或 $A,C$ 为零时，平面与 $xOy$ 或 $yOz$ 或 $xOz$ 面平行。

点 $(x_0,y_0,z_0)$ 到平面的距离公式：
$$
d = \frac{Ax_0+By_0+Cz_0+D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}
$$

平面之间的关系

已知两个平面的一般式系数：$A_1,B_1,C_1,D_1$ 和 $A_2,B_2,C_2,D_2$。

面面角： 两个平面之间的夹角是它们的法向量的夹角（常为锐角或直角，计算余弦值时注意取绝对值）。

面面垂直： 等价于法向量垂直，也等价于 $A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2 = 0$。

面面平行： 等价于法向量平行，也等价于 $A,B,C$ 对应系数成比例。

面面重合： 等价于 $A,B,C,D$ 对应系数成比例。

直线的表示

一般式方程： 直线可视为两平面的交线，因此可以用两个平面方程来描述一条直线。方程形如

$$
L:
\begin{cases}
A_1x+B_1y+C_1z = 0 \cr
A_2x+B_2y+C_2z = 0
\end{cases}
$$

注意：
同一直线的一般式方程不唯一。

对称式（点向式）方程： 利用过直线的一个已知点 $M(x_0,y_0,z_0)$ 和直线的一个方向向量 $\vec{s}=(m,n,p)$，可以描述直线上动点 $M(x,y,z)$ 的轨迹。方程为

$$
L: \frac{x-x_0}{m} = \frac{y-y_0}{n} = \frac{z-z_0}{p}
$$

注意：
允许上式中的部分分母为零，此时对应的分子也理解为零。

已知一般式方程，求点向式方程：
核心是找到直线的方向向量。将一般式方程中的两个平面的法向量做向量积，即可得到直线的方向向量。此时找到满足一般式方程的一组 $(x_0,y_0,z_0)$ 即可求得点向式方程。

参数式方程： 令点向式方程的各比值等于 $t$，得到方程

$$
L:
\begin{cases}
x = x_0+mt \cr
y = y_0+nt \cr
z = z_0+pt
\end{cases}
$$

直线之间的关系

已知两个直线的方向向量：$\vec{s_1} = (m_1,n_1,p_1),\vec{s_2} = (m_2,n_2,p_2)$。

线线角： 两个直线之间的夹角是它们的方向向量之间的夹角（常为锐角或直角，计算余弦值时注意取绝对值）。

线线垂直： 等价于方向向量垂直，也等价于 $m_1m_2+n_1n_2+p_1p_2 = 0$。

线线平行： 等价于方向向量平行，也等价于 $m,n,p$ 对应系数成比例。

平面与直线的关系

线面角： 直线的方向向量 $\vec{s}$ 与平面的法向量 $\vec{n}$ 的夹角的余角 $\phi$。计算时利用 $\sin\phi = \cos\widehat{(\vec{s},\vec{n})}$ 即可。

平面束： 平面束描述了过某一定直线的全体平面。一般方程表示为

$$
\mu(A_1x+B_1y+C_1z+D_1)+\lambda(A_2x+B_2y+C_2z+D_2) = 0
$$

其中 $\mu,\lambda$ 不全为零。任意平面前方的系数 $\mu$ 或 $\lambda$ 不为零时，该方程无法表示对应的平面。

曲面与曲线

两个基本问题：①已知曲面作为点的几何轨迹，求曲面方程；②已知曲面方程，研究曲面的几何形状。

球面

球面形式方程：

$$
A(x^2+y^2+z^2)+Dx+Ey+Fz+G = 0 \quad (A \ne 0)
$$

根据配方结果不同，该方程可以表示球面、点或虚轨迹。

球面形式方程的三种可能形状：
首先对上式配方，得到实际的半径 $R$ 满足以下关系式
$$
AR^2 = \frac{D^2+E^2+F^2}{4A}-G
$$

1. 当 $A>0$ 且 $R^2 > 0$ 时，表示球面，球心为 $(\frac{-D}{2A},\frac{-E}{2A},\frac{-F}{2A})$。
2. 当 $A>0$ 且 $R^2 < 0$ 时，半径不是实数，此时的方程表示一个虚轨迹。
3. 当 $A<0$ 时，

旋转曲面

旋转曲面是一条平面曲线绕着平面上的一条定直线（旋转轴）旋转一周所形成的曲面。

建立 $yOz$ 面上曲线 $C: f(y,z) = 0$ 绕 $z$ 轴旋转所成曲面的方程：
设点 $M_1(0,y_1,z_1) \in C$ 则有 $f(y_1,z_1) = 0$。当该点旋转时，转到 $M(x,y,z)$，此时
$$
z = z_1 ,\quad \sqrt{x^2+y^2} = |y_1|
$$
于是，得到旋转曲面的方程是 $f(\pm\sqrt{x^2+y^2},z) = 0$。

TODO

多元函数积分学

平面点集

基本概念

平面点集： 坐标平面上具有某种性质的点的集合。

邻域： 与指定的坐标点 $P_0$ 的欧氏距离严格小于某一正数 $\delta$ 的全体点，记作 $U(P_0,\delta)$，或者 $U(P_0)$ 如果不需要强调邻域半径。

去心领域： 在邻域的基础上去掉 $P_0$ 点，记作 $\mathring{U}(P_0,\delta)$，或者 $\mathring{U}(P_0)$。

点与点集的关系

根据邻域来看，点 $P$ 与点集 $E$ 有如下三种关系：

内点： 是绝对的内部成员，要求存在 $P$ 的一个邻域使得该邻域属于 $E$。显然此时 $P$ 也属于 $E$。

外点： 是绝对的外部成员，要求存在 $P$ 的一个邻域使得该邻域与 $E$ 的交集为 $\empty$。显然此时 $P$ 不属于 $E$。

边界点： 是边缘成员，要求所有 $P$ 的邻域内既有属于 $E$ 的点也有不属于 $E$ 的点。注意 $P$ 不一定属于 $E$。点集 $E$ 的全体边界点被称为边界，记作 $\partial E$。

除此之外，还定义了一类特殊的点：

聚点： 要求所有 $P$ 的邻域内都有无限个 $E$ 中的点。内点一定是聚点，外点一定不是聚点，边界点可能是聚点。注意 $P$ 不一定属于 $E$。

内点外点互斥，边界左右横跳；
聚点人气为王，外点绝不沾边。

点集的分类

关于点集 $E$，有如下分类：

开集： 所有点都是内点。

闭集： 满足 $E$ 的余集是开集，或者说，$E$ 的所有聚点都属于 $E$。

连通集： $E$ 内的任意两点都可以用折线连结起来，且折现上的所有点都属于 $E$。“连通”是“区域”的前提条件。

开区域： 连通的开集。简称区域。

闭区域： 开区域连同它的边界。

有界集： 存在正数 $r$ 使得 $E$ 中的所有点都能被包含在 $U(O,r)$ 里面，其中 $O$ 是坐标原点。

无界集： 非有界集。

多元函数的极限与连续

多元函数极限

以二元函数 $f(x,y)$ 为例，给定其定义域 $D$ 中的聚点 $P_0(x_0,y_0)$。若常数 $A$ 满足对于任意的正数 $\epsilon$ 都存在正数 $\delta$ 使得当 $P(x,y) \in D \cap \mathring{U}(P_0,\delta)$ 都有 $|f(x,y)-A| < \epsilon$，则称 $A$ 为 $f(x,y)$ 在 $(x,y) \rightarrow (x_0,y_0)$ 时的极限。记作

$$
\lim_{(x,y) \rightarrow (x_0,y_0)} f(x,y) = A
$$

说明：

1. $n$ 元函数的极限也叫 $n$ 重极限；
2. $P \rightarrow P_0$ 的方式是任意的，这说明 $P$ 从任意路径趋近 $P_0$ 都能得到相同的极限值；
3. 极限不存在的几何意义是在此处发生了图形的断裂或震荡。要想证明极限不存在，只需要证明“使用不同的路径趋近 $P_0$ 会得到不一样的极限值”。具体而言：
   1. 可以让 $P$ 沿着 $y = kx$ 或 $y = kx^3$ 等路径趋向于 $P_0$。如果极限值与 $k$ 有关，那么极限不存在；
   2. 可以找两种不同的趋近方式使得极限值存在但是两者不相等，此时极限不存在。

思考：
若沿着无数条平面曲线趋近 $P_0$ 时，函数值都趋向于 $A$，能否断言极限存在？

多元函数的连续性

多元函数在 $P$ 处连续的条件是，$P$ 是定义域内的聚点，且 $P$ 处极限存在。多元初等函数（由常量和不同自变量的一元初等函数经过有限次四则运算或复合运算而得到的函数）在其定义区域内都是连续的。

闭区域上连续函数的性质

有界性与最值定理： 闭区域连续必有界，且可取到最大值和最小值。

介值定理： 闭区域连续时，可以取得最大值和最小值之间的任何值。

全微分和偏导数

全微分

偏增量：

$$
\begin{align*}
f(x+\Delta x,y)-f(x,y) \approx f(x,y)\Delta x \cr
f(x,y+\Delta y)-f(x,y) \approx f(x,y)\Delta y
\end{align*}
$$

全增量的定义及其线性估计式：

$$
\Delta z = f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y) = A\Delta x+B\Delta y+o(\rho)
$$

其中 $A,B$ 不依赖于自变量增量 $\Delta x,\Delta y$ 且只与 $x,y$ 有关，$o(\rho)$ 意味着 $\Delta z$ 与线性估计式的误差是“自变量增量的欧氏距离”的高阶无穷小。此时称函数 $z = f(x,y)$ 在 $(x,y)$ 处可微分，定义全微分为

$$
\text d z = A\Delta x+B\Delta y
$$

偏导数

以对 $x$ 的偏导数为例，如果以下极限存在

$$
\lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}
$$

那么该极限是函数 $z = f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处对 $x$ 的偏导数，记作 $f_x(x_0,y_0)$ 或 $f’_x(x_0,y_0)$。

将偏导数推广为函数，可以记作

$$
f_x(x,y) = \frac{\partial{f}}{\partial{x}}
$$

注意，求边界点或不连续点处的偏导数需要使用定义法。

引入偏导数后，二元函数的全微分可以记作

$$
\text d z = \frac{\partial{z}}{\partial{x}} \text d x + \frac{\partial{z}}{\partial{y}} \text d y
$$

导微连关系

在一元函数中：

$$
\begin{align*}
可微分 &\Rightarrow 可导，原函数连续 \cr
可导 &\Rightarrow 可微分
\end{align*}
$$

在多元函数中：

$$
\begin{align*}
偏导连续 \Rightarrow 可微分 &\Rightarrow 可偏导，原函数连续 \cr
可导 &\textcolor{coral}{\nRightarrow} 可微分
\end{align*}
$$

高阶偏导数

二阶和二阶以上的偏导数被称为高阶偏导数。高阶偏导数有两类：

1. 纯偏导： 每次求偏导都针对同一个自变量，例如 $f_{xx}$ 表示对 $x$ 求了两次偏导；
2. 混合偏导： 没有针对同一个变量求偏导，例如 $f_{yx}$ 表示先对 $y$ 求偏导再对 $x$ 求偏导。

如果函数在某个区域内连续，那么该函数的不同的混合偏导数才是相等的。

链式法则

涉及到对多元符合函数进行微分时，使用链式法则。分为三种情况：

TODO

全微分形式不变性

TODO

隐函数求导

TODO