数学建模基础

本文是张文宇老师的数学建模培训课程的大纲整理。

认识数学建模

数学建模简介

数学建模（Mathematical Modeling） 是利用数学语言（符号、公式、图表等）来模拟并解决现实世界中实际问题的一种方法。它是一个将现实问题抽象化、简化，建立数学结构，并完成求解和分析的过程。

数学建模的本质是：

翻译（Translation）：将现实问题转化为数学问题；
求解（Solution）：利用数学工具和方法解决数学问题；
解释（Interpretation）：将数学结果带回现实世界成为解决方案。

数学建模通常用于理解物理世界规律、预测未来趋势、优化决策和控制过程等方面。参与数学建模要求具备跨学科综合应用能力、逻辑思维能力、团队协作能力和科研素养。

常见的建模问题分类

分类	直观解释	含义
优化问题（Optimization）	该怎么做是最好的？	分配、调度、控制、决策等
预测（Prediction）与时间序列（Time Series）	未来会发生什么？	根据历史数据预测未来趋势
评估（Evaluation）	哪个更好？	综合不同的指标评估好坏
分类（Classification）	这是什么？	分辨不同的目标类别
常微分方程（ODE）	会如何演变？	根据变化规则（导数）分析系统的演变过程（函数）
数据挖掘（Data Mining）与统计分析（Statistical Analysis）	有什么规律/关系？哪个更重要？	分析数据内部的分
布规律和数据之间的关系，分析不同因素的重要性

常用的建模流程

模型准备：理解题意，明确问题，收集数据；
模型假设：忽略次要因素，简化问题（如“假设物体是质点”）；
模型建立：选择合适的数学工具（方程、规划、图论等）构建模型；
模型求解：推导解析解或编写代码求数值解；
模型分析：灵敏度分析、优缺点分析、误差分析、稳健性检验；
模型应用：将结果应用到实际，看是否符合常理。

数学建模论文写作规范

核心结构

一篇优秀的数学建模论文通常包含以下标准模块：

摘要 (Abstract)：全篇的精华，决定第一印象；
问题重述 (Problem Restatement)：用自己的语言重新阐述问题；
问题分析 (Problem Analysis)：解题思路的宏观描述；
模型假设 (Assumptions)：简化的前提条件；
符号说明 (Notations)：变量的统一定义；
模型建立 (Model Building)：核心部分，数学推导；
模型求解 (Model Solution)：算法设计与结果计算；
模型分析 (Model Analysis)：误差分析、灵敏度分析；
模型评价与推广 (Evaluation & Extension)：优缺点总结。

摘要

摘要是重中之重。阅卷老师通常只有几分钟看摘要，必须包含以下“五要素”：

研究背景与问题：一句话概括解决了什么问题，对应的数学问题是什么（如优化、预测、微分方程等）；
主要模型：明确指出了使用了什么模型（如：Differential Equations, XGBoost, Genetic Algorithm）；
求解算法：用什么方法解的模型；
关键结果：具体的数值结果，不能只说“效果很好”；
结论与验证：模型的最终结论及有效性。

忌讳：大量堆砌废话，没有具体数据，逻辑混乱。

示例摘要：

“针对问题一，本文建立了一个基于非线性规划的优化模型。首先，定义了目标函数为总成本… 其次，考虑到运输限制，引入了约束条件… 最后，使用遗传算法 (Genetic Algorithm) 进行求解。结果显示，最优成本为114.5万元，相比基于xx的方案降低了14%。”

清晰：模型、算法、结果一目了然。

具体：有具体的数值支撑。

问题分析与模型假设

问题分析 (Problem Analysis)

不要在这一节写公式；
使用流程图或逻辑图展示思路
对问题建模与求解的关键点和难点谈谈你的理解；
像是“导游”一样，告诉读者你打算怎么做，为什么这么做。

模型假设 (Assumptions)

必要性：假设必须是为了简化模型而存在；
合理性：不能假设掉问题的核心矛盾。

例如：”Assume the road surface is flat and friction is constant.” (For a vehicle dynamics model).

模型建立

是论文的核心。这是展示数学功底的地方。

从易到难：先建立简单模型，再逐步放宽约束；
有理有据：每一个公式的出现都要有来源或推导过程；
定义清晰：公式中出现的每一个字母，都必须在前文中定义过；
物理意义：解释公式背后的实际含义，而不仅仅是堆砌符号。

注意不要直接搬运课本上的通用公式，要结合题目具体化。

例如，不要只写，要写。

模型求解

原则：

详细描述算法步骤（伪代码或流程图）；
明确使用的软件工具（MATLAB, Python, Lingo, SPSS等）；
展示求解结果时，使用图表可视化来代替枯燥的数字列表。

结果展示：

趋势图、对比图、误差棒图等；
重要的数值结果要加粗或单独列出。

结果分析：

描述所得到结果；
分析结果背后的原因或含义。

模型分析

建立模型后，必须对其进行评估。通常包括：

误差分析：理论值与观测值的差距；
稳健性/鲁棒性分析 (Robustness)：模型在参数微小变化时是否稳定；
灵敏度分析 (Sensitivity Analysis)：关键参数对结果的影响程度。

这一部分往往是论文“档次”的体现，展示了你对模型的深入理解，而不仅仅是算出了一个数。

灵敏度分析是模型分析中非常重要的一环，它研究输入参数的变化对输出结果的影响程度。需对具体问题进行针对性分析。

假设模型为。我们要分析参数的灵敏度。

通常定义相对灵敏度：

步骤：

选定关键参数（如：利率、摩擦系数）；
让在一定范围内浮动，如；
观察目标函数的变化曲线。

结论：如果很大，说明模型对该参数敏感，需精确测量该参数；如果很小，说明模型稳健。

模型评价与推广

核心目的：展示模型的普适性 (Generalizability) 和 潜力 (Potential)，证明你的模型不仅仅是为了解决当前的一道题，而是具有更广泛的应用价值。

三个常用的推广维度：

放宽假设 (Relaxing Assumptions)：原模型假设了“匀速运动”，推广模型可以讨论“变加速运动”下的情况；原模型假设“人口封闭”，推广模型可引入“人口迁移”；
维度升级 (Dimensional Upgrade)：从二维平面 (2D) 推广到三维空间 (3D)；从单目标优化推广到多目标优化 (Multi-objective Optimization)；
类比迁移 (Analogical Transfer)：将模型应用到相似的领域。例如：将“传染病传播模型 (SIR)”推广应用到“网络谣言传播”或“计算机病毒扩散”中。

在这一部分，通常不需要完整地求解新模型，只需列出改进后的方程或思路，并定性分析其预期效果即可。这表明你既有解决具体问题的能力，又有宏观把控的视野。

制作规范

文档规范

文档采用 LaTeX 排版。LaTeX 是学术论文的标准排版工具，具有强大的数学公式处理能力和专业的排版效果。在此不展开介绍。

数学公式规范

变量定义：首次出现的变量必须有其定义。建议使用专用术语表。

排版美观：

标量用斜体（LaTeX默认）：
向量/矩阵用粗体直立：
特殊函数用罗马体： (使用 \sin 而非 sin)

公式编号：重要的、后续需要引用的公式必须使用圆括号编号。

例如，优化模型标准形式

其中，为决策变量向量。

插图规范

原则：

矢量图优先：尽量使用 PDF, EPS, SVG 格式，放大不失真。避免使用模糊的 JPG。
配色专业：避免高饱和度色彩（大红大绿）。推荐使用 Matlab 的 parula, viridis 或 Python 的 seaborn 配色。
信息完整：
- 坐标轴必须有标签（Label）和单位（Unit）。
- 多条曲线必须有图例（Legend）。
- 图注（Caption）在图下方。
字体统一：图中文字体大小应与正文接近，字体风格保持一致。

常用画图工具：

MATLAB/Python (Matplotlib)：生成严谨的数据分析图（曲线、散点、三维曲面）；
Visio / ProcessOn / Draw.io：绘制流程图、框图；
LaTeX (TikZ)：代码绘图，与文档完美融合；
Tableau / ECharts：高级可视化；
PowerPoint (PPT)：使用得当也可以绘制出漂亮流程图、示意图等；
文生图大模型：描绘清楚流程后生成流程图、框图、示意图等。注意校对生成图片的正确性。

建议 LaTeX 排版论文一般建议使用 PDF 或 EPS 矢量图。如果是 PNG 等图片，尽量设置分辨率（DPI）在 300 以上。

写作要点

以某一篇美赛论文为例，张文宇老师详细分析出了以下要点：

基本信息：题号和队伍编号不要写错。给你的论文起一个吸引人的名字，可增加印象分。

摘要：概述论文问题背景，直接给出我们所建立的数学模型作为摘要的大纲，后续都围绕着我们所构建的模型来写。针对所建立的模型，阐述模型的创新点、所建立的模型类型、求解方法、求解结果、结论等。模型、算法、结果要一目了然。对重点内容加粗凸显，最后总结敏感性分析。

摘要并没有一个统一的写法，针对不同的任务来展开摘要的叙述也是一种通用的写法。例如：

针对任务一，考虑了什么因素，建立了什么模型，怎么求解的，得到了什么结果，有什么意义。
针对任务二，xxx
针对任务三，xxx

问题分析、文献综述、问题假设：美赛的第一章是绪论（Introduction）；文献综述要有，会有印象分增加（务必是英文文献）；配图说明要一目了然、规范漂亮，否则会起反作用；重述问题时，可以将原题目中的子任务合并一起介绍；介绍模型假设时，除了给出假设，最好说明为什么要这么设定（务必是客观原因）；一定要给出一小节来介绍本论文的工作（可以用一段话来概述）。

文章工作概述：这张图很重要，一定要认真组织内容并且清晰展示；包括考虑的因素、构建的模型、求解算法、主要结论等；配图一定要美观、结构清晰、排列整齐、易于理解，否则第一印象就会判这篇论文死刑；图中可以插入一些图标、图像等元素，丰富图像内容；图中每个地方所对应的任务都要清晰标记出来。

符号说明：用一张表，来给出各个模型中所使用的数学变量的符号、含义、单位等；在建模过程中，务必注意变量的数学符号一定要合理地分配；一些常用的数学变量，使用默认的数学符号，如距离D、时间t等；即使前面给出了符号说明表，在后续的正文中，也要在一个数学变量第一次出现时给出其具体的定义。

数据来源：如有必要，说明本文的数据是从哪里来的，给出数据的规模、范围、属性、预处理方法等必要信息。

模型建立：首先，用一个小节概述模型的构建过程——考虑了什么因素、使用了什么数学模型，主要的构建思路；尤其是要凸显本文的创新之处，即你所做的创造性工作（和别人不一样的）。接下来，开始概述本文所构建的模型，不要一上来就说里面怎么怎么构建的，而是要先描述清楚系统模型，也就是本文所考虑的问题场景，对所面向的场景进行概述，包括场景中有哪些实体、使用什么变量来表示、实体之间有什么关系、一些基础的必要的信息的计算或转换模型是什么，相当于是一个概要性介绍，后面的小节再进一步深入各个要素具体怎么建模；采用概述-分条详细阐述的方式来撰写本部分内容。说清楚一些必要的基础模型；使用小标题，使文章结构清晰、逻辑明确；概述完问题的场景后，开始介绍所考虑因素的具体建模细节；所有的数学公式要整齐规范（只要有一个公式看着不像样，印象分马上下来）；数学变量的含义一定要清晰的说明出来；数学公式一定要有编号；如果有必要，使用插图阐述你模型的构建过程，辅助评阅老师理解；对于优化类问题，清晰阐述需要优化的目标变量、约束条件、目标函数；每种模型都有一定的写作套路，要多看，善于总结分析；说清楚求解问题时仿真场景、所使用的算法或模型的参数设置；说清楚问题求解的具体实现步骤。尽量使用图像、表格来展示你求解得到的结果；每张图、每个表都应该有相应的分析——我们观察到什么结果？为什么会这样（出现这个结果的原因是什么）？这个结果有什么现实意义或启发性？本章容易出现的反面教材包括插图不够直观（信息量有限）、插图不好理解（不能一目了然地展示结果信息）、where 后面不要带逗号。

敏感性分析：对一些变量做随机扰动，观察目标结果的变化幅度展示变化幅度，分析敏感性分析所得到的结果——模型是否鲁棒？哪些因素变化很大？原因是什么？有什么启发性意义？

模型评价与推广：对你的长处大书特书（但要有理有据）——考虑因素多、贴近现实、模型更加先进、结果更
好、计算复杂度低、鲁棒性好等等；对你的短处不痛不痒地提一下；最后总结概述一下本文的工作（注意，要用过去式，因为是概述我们已经做了哪些工作）

参考文献：一定要有（最好不少于 10 条），且格式一定要规范，文献一定要真实存在。

附录：有必要的话，可以在附录中加入一些补充的建模说明，或者是其他的结果；不必强求，否则会起到反效果。

进阶方法

创新性：提出与已有模型不一样的方法（稍加改动即可），这样
你的方法就有了“创新”，有助于加分（不要勉强，用好现有方法
一样能拿好成绩）；
消融实验（Ablation Study）：探讨你的方法中不同因素对结果性
能的影响，证明你的方法考虑的因素全面合理（不一定需要）；
对比实验（Comparison Study）：把你的方法的结果，和其他方法
的结果进行对比，证明你的方法能力更强，性能更好；
严谨、详实、但不啰嗦：千万别让你的论文看起来非常干瘪，否
则印象很差。这其实反映了队员对细节把控不到位，对问题认识
深度不够，亦或者是连基本的论文写作方法都没掌握。

其他的话

细节决定成败，论文没写好，所有工作都白搭，所以务必要确
保论文的细节尽可能地完善，不出问题；
数学建模论文的写作没有固定的格式，但一些基本范式一定要
服从，不要瞎来；
一定要善于总结和吸收优秀论文的论文写法和建模方法；
现在有大模型辅助，作图和写论文效率更高、更容易了，所以
要确保你搞出来的论文比大模型输出的更好；
千万不要有“AI味”：大模型已成为必不可少的辅助工具，但一
定要善于利用，千万不要直接粘贴它的内容，否则被判定为作
弊将直接失去资格。